50
2arccos(-корень из 3/2)+2arctg(-1)+arccos(- корень из 2/2)-arcctg(-корень из3/3) ​

Во-первых, а =/= -1, потому что иначе коэффициент при x^2 будет = 0.
Во-вторых, решаем уравнение
(a+1)*x^2 + (a+3)*x + (-4a-4) = 0
Можно решить традиционным
D = (a+3)^2 - 4(a+1)(-4a-4) = (a+3)^2 + 16(a+1)^2 =
= a^2 + 6a + 9 + 16a^2 + 32a + 16 = 17a^2 + 38a + 25 > 0 при любом а.
x1 = (-a-3 - √(17a^2 + 38a + 25)) / (2a+2)
x2 = (-a-3 + √(17a^2 + 38a + 25)) / (2a+2)
Но в принципе это все неважно. Рассмотрим модуль разности
|x1^2 - x2^2| = |(x1 - x2)(x1 + x2)| = 15
Denik777 навел меня на мысль. Разность квадратов корней нужно возвести в квадрат.
(x1^2 - x2^2)^2 = (x1 - x2)^2 * (x1 + x2)^2 = 15^2 = 225
(x1^2 - 2x1*x2 + x2^2)(x1 + x2)^2 = 225
(x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 4x1*x2)(x1 + x2)^2 = 225
((x1 + x2)^2 - 4x1*x2)(x1 + x2)^2 = 225
По теореме Виета x1 + x2 = -(a+3)/(a+1); x1*x2 = (-4a-4)/(a+1) = -4
((a+3)^2/(a+1)^2 - 4(-4))*(a+3)^2/(a+1)^2 = 225
((a+3)^2 + 16(a+1)^2)*(a+3)^2 / (a+1)^4 = 225
Первая скобка равна D, который мы уже вычислили
(17a^2 + 38a + 25)(a^2 + 6a + 9) = 225(a + 1)^4
17a^4+38a^3+25a^2+102a^3+228a^2+150a+153a^2+342a+225 =
= 225a^4 + 900a^3 + 1350a^2 + 900a + 225
Упрощаем
208a^4 + 760a^3 + 944a^2 + 408a = 0
Делим на 8
26a^4 + 95a^3 + 118a^2 + 51a = 0
a1 = 0
26a^3 + 95a^2 + 118a + 51 = 0
Кубическое уравнение имеет как минимум 1 корень.
И в данном случае отрицательный. При a > 0 корней явно нет.
F(-3) = -150 < 0; F(-2) = -13 < 0; F(-1) = 2 > 0
-2 < a2 < -1
Можно уточнить, например до точности 0,1
F(-1,4) = -26*1,4^3 + 95*1,4^2 - 118*1,4 + 51 = 0,656 > 0
F(-1,5) = -26*1,5^3 + 95*1,5^2 - 118*1,5 + 51 = 0
a2 = -1,5

Denik777 в итоге все равно сделал проще и понятнее.
Что-то меня последнее время тянет на сложности.

Используем формулу суммы синусов 
 sinα + sinβ = 2 * sin  * cos 
α = x + 30 
β = x - 30 
sin (x + 30) + sin (x - 30) = 2 * sin  * cos  = 2 √ (3cosx)  
2 * sin * cos  = 2 √(3cosx)  
2 * sin x * cos 30 = 2 √(3cosx) 
2 * √3/2 * cosx = 2 √(3cosx)
√3 * sinx = 2 √(3cosx)
(√3 * sinx)² = (2 √(3cosx))²    
3 * sin ² x = 4 * 3 * cosx 
sin²x = 1 - cos²x
3 * (1 - cos²x) = 4 * 3 * cosx
1 - cos²x = 4 *cosx
cos²x + 4cosx - 1 = 0 
cosx = t 
t² + 4 t - 1 = 0 
D = 16 - 4 * 1 * (- 1) = 16 + 4 = 20 
t ₁ = (- 4 - √20)/2 = (- 4 - 2√5)/2 = - 2 - √5  
t₂ = (- 4 + √20)/2 = (- 4 + 2√5)/2 = - 2 + √5 
cosx = - 2 - √5 < - 1 не удовлетворяет, т.к. значения  -1 ≤ cosх ≤ 1 
cos x = - 2 + √5  <  1 удовлетворяет
Используем формулу
1 + tg²x =  
tg²x =    - 1 
tg²x = - 1 = -1 =  =  =  =   = 8 + 4√5 
tg²x = 8 + 4√5 = 4 (2 + √5)
tgx = 2√(2 + √5) 
tgx = - 2√(2 + √5)