Укожній клітинці квадрата 101×101, крім центральної, уміщено один з двох знаків: «поворот» або «прямо». машинка заїжджає ззовні в довільну клітинку через сторону квадрата, після чого їздить паралельно сторонам клітинок, дотримуючись двох правил: 1) у клітинці зі знаком «прямо» вона продовжує шлях у тому ж напрямку; 2) у клітинці зі знаком «поворот» вона повертає на 90º (у будь-яку сторону за своїм вибором). центральну клітинку квадрата займає будинок. чи можна розставити знаки так, щоб у машинки не було можливості врізатися в будинок? відповідь обґрунтуйте.

Найдём уравнение касательных к графику функции f(x) = -8x-x².

f'(x) = -(8x)'-(x²)' = -8-2x

Уравнение для касательной с абсциссой точки касания x₁ = -6:

f'(x₁) =  f'(-6) = -8-2·(-6) = -8+12 = 4;

f(x₁) = f(-6) = -8·(-6)-(-6)² = 48-36 = 12;

y = f'(x₁)·(x-x₁)+f(x₁) = 4·(x-(-6))+12 = 4x+24+12 = 4x+36.

Уравнение для касательной с абсциссой точки касания x₂ = 1:

f'(x₂) = f'(1) = -8-2·1 = -8-2 = -10;

f(x₂) = f(1) = -8·1-1² = -8-1 = -9;

y = f'(x₂)·(x-x₂)+f(x₂) = -10·(x-1)+(-9) = -10x+10-9 = -10x+1.

Стороны треугольника лежат на прямых:

y = 4x+36;  y = -10x+1;  x = 0.

Найдём вершины треугольника.

Сторона AB лежит на оси Oy, поэтому высота CH, треугольника ABC, будет параллельна оси Ox. А значит, CH = |-2,5| = 2,5.

AB = 36-1 = 35, поскольку эта сторона перпендикулярна оси Ох.

Площадь треугольника равна полупроизведению его высоты и стороны к которой она проведена.

S(ABC) = = 2,5·35/2 = 175/4 = 43,75

ответ: 43,75.

а)

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Получаем:

Чтобы это решить, для начала представим, что это выражение равно нулю, тогда получим квадратное уравнение и найдём его корни.

Но так как изначально это выражение было неравно нулю, то из области определения просто вычёркиваются корни уравнения, решённого нами выше.

ответ:   .

б)

Подкоренное выражение всегда неотрицательно, то есть, больше или равно нулю.

Решим неравенство методом интервалов.

Нули:

          -                            +                           -

-----------------------------------------------

Нам нужно найти те промежутки, где выражение больше или равно нулю. Такой промежуток только один:  , так как там "+". Этот промежуток и будет являться областью определения функции.

ответ: .