Рассмотрим два числа A и В
Пусть A=a²+b² B=c²+d² Надо доказать что A*B=x²+z²
A*B=(a²+b²)*(c²+d²)=a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²) + 2*abcd - 2*abcd = *
1. * = (a²c² +2*ac*bd +b²d²) + (a²d² - 2*ad*bc+ b²c²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²
2. *= (a²c² - 2*ac*bd +b²d²) + (a²d² + 2*ad*cd+ b²c²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Таким образом нашли x₁₂ = ac + - bd и z₁₂ = ad - + bc
доказали что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел
A) x-1/x⁻¹+1=(х-1):(1/х + 1)=( х-1): (1+х/х) = (х-1) *(х/ 1+х) =(х^2-х)) / 1+х
Б)х²-х+1/x⁻²-x⁻¹+1= (х²-х+1): (1/х^2 - 1/х + 1 )=(х²-х+1)/ (1-х+х^2/х^2)= (х²-х+1)*(х^2/1-х+х^2)= х^2
B) y⁻¹-1/y-1=((1-y)/y) :( y-1)=((1-y)/y)*(1/( y-1))= - 1/y
Г)y⁻⁴+y⁻²/y⁴+y²= (1+y^2/y⁴) : y⁴+y²= (1+y^2/y⁴) *( 1 /y⁴+y²)= (1+y^2)/ y^4*y^2(y2+1)=1/y^6
Д)a²+b²/ab⁻¹+a⁻¹b= (a²+b²):( a/b + b/a)= (a²+b²)*(ab/ a^2+b^2)= ab
е)a⁻⁴+b⁻⁴+2a⁻²b⁻²/a⁴+b⁴+2a²b²= (1/а4 + 1/b4 + 2/а2b2) : (a⁴+b⁴+2a²b²)= (1/а4 + 1/b4 + 2/а2b2) * (1/ (a⁴+b⁴+2a²b²))=( (a4+b4+2b2а2)/a2b2)* (1/ (a⁴+b⁴+2a²b²))= 1/a2b2
^ возведение в степень или цифра после напримаер a2 это а во второй степени
