В решении.
Объяснение:
Решите задачу с составления уравнения. Разность двух чисел равна 25, а разность их квадратов 875. Найдите эти числа.
х - первое число.
у - второе число.
По условию задачи система уравнений:
х - у = 25
х² - у² = 875
Выразить х через у в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить у:
х = 25 + у
(25 + у)² - у² = 875
625 + 50у + у² - у² = 875
50у = 875 - 625
50у = 250
у = 250/50
у = 5 - второе число.
х = 25 + у
х = 25 + 5
х = 30 - первое число.
Проверка:
30 - 5 = 25, верно.
30² - 5² = 900 - 25 = 875, верно.
Возведем обе части равенства x + y + z = 0 в квадрат. Получим (x + y + z)² = 0 => (x + y)² + 2(x + y)z + z² = 0 => x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 0 => x² + y² + z² = -2(xy + xz + yz). Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Получим (x² + y² + z²)² = 4(xy + xz + yz)² = 4((xy + xz)² + 2(xy + xz)yz + y²z²) = 4(x²y² + 2x²yz + x²z² + 2y²xz + 2z²xy + y²z²) = 4(x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z)) = 4(x²y² + x²z² + y²z²), т. к. x + y + z = 0. С другой стороны (x² + y² + z²)² = ((x² + y²)² + 2(x² + y²)z² + z⁴) = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + 2x²z² + 2y²z² + z⁴ = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²). Тогда (x² + y² + z²)² = 4(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) => x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x²y² + x²z² + y²z²). Отсюда получаем требуемое равенство (x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x⁴ + y⁴ + z⁴).
