3) а = -5,4, d = 1,8 иа, — о, о,
4) а = -7,3, d = -2,6 иа = -30,7.
14.4. найдите п, если:
1) а = 25, d = -2, s = 168;
2) а = 5, d = 2, s = 192;
3) а = -12,5, d = 3, s = 195,5;
4) а = -2,4, d = -0,8, s = -70,4.
14.5. найдите разность арифметической прогресси
1) а = 18, n= 27, s = 2241; 2) а = -8, п.
3) а = -5, п= 23, s = 1909; 4) а = 81, п
14 с цайлите 20-й член и значение суммы 20 пер​

Все таки не удержусь и для начала покажу красивый без метода мат индукции, а потом уже с методом мат. индукции.

Первый .(собственно то, как, возможно, была выведена эта формула)

Обозначим сумму ряда за S:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+n(n+1)!/2^n = S

Рассмотрим также вс сумму S1:

2!/2 +3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+1)!/2^n = S1

Тогда не трудно убедится, что

S+2S1 = 3*2!/2 + 4*3!/2^2 + 5*4!/2^3+...+(n+2)(n+1)!/2^n =

= 3!/2 + 4!/2^2+ 5!/2^3+...+(n+2)!/2^n = 2*( 3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+2)!/2^(n+1) =

= 2(S1 -2!/2 + (n+2)!/2^(n+1))

То есть получаем равенство:

S+2S1 = 2S1 -2! + (n+2)!/2^n

Замечаем, что 2S1 сокращается:

S = (n+2)!/2^n - 2

Что и требовалось доказать.

Второй (метод математической индукции)

Проверим, что тождество верно для n = 1:

1*2!/2 = 3!/2 - 2

1 = 3 - 2 - верно.

Предположим, что утверждение справедливо для n = t, то есть:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t = (t+2)!/2^t - 2

Докажем его справедливость для n = t+1

То есть нужно доказать, что:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = (t+3)!/2^(t+1) - 2

Нетрудно заметить, что:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =

= (1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1)  =

= (t+2)!/2^t - 2 + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = 2(t+2)!/2^(t+1) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) - 2 =

= (2+t+1)*(t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)((t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)!/2^(t+1) - 2

А значит, по принципу математической индукции, данное тождество доказано.

Всего есть 4 варианта увеличить числа: a и с, a и d, b и с, b и d.
Если увеличить числа а и с, то неравенство останется таким же с той лишь разницей, что к обоим частям прибавили по 1, истинность неравенства это не меняет.

Аналогично, при увеличении чисел b и d обе части неравенства уменьшатся на единицу, но истинность неравенства останется такой же.

Если увеличить числа а и d, то левая большая часть станет еще большей, а правая меньшая часть станет еще меньше, таким образом, неравенство станет еще строже и останется истинным.

Соответственно увеличивали числа b и c:

Действие аналогично прибавлению 2 к правой части и именно оно изменило истинность неравенства.