Контрольная за семестр. если не попаду в детдом​

Пусть угол KPD - a, угол MNB - b, а угол MPD - c.
a=4(b+c)(по условию), b=c(соответственные углы), a+c=180°(смежные углы). Составляем систему: a+b=180° и a=8b => a+b=180° и a=8b => 8b+b=180° и a=8b => 9b=180° и a=8b => b=20° и a=160°
ответ: a=160°, b=20°, c=20°.

Если угол C и угол BDC равны 60°, то и угол DBC равен 60°, следовательно, треугольник BDC - равносторонний, а BC и BD равны 5 см. Если угол BDC равен 60°, а угол ABD равен 30°, то угол ADB равен 120° (как смежный с BDC), а угол BAD равен 30°, следовательно, треугольник ABD - равнобедренный, а AD равно 5 см. AC=5 см + 5 см = 10 см
ответ: AC=10 см, AD=5 см.

Task/24844813
---.---.---.---.---.---
доказать методом математической индукции, что для любого натурального n верно равенство 
1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=(1/4)*n(n+1)(n+2)(n+3)

Решение : 
1) n=1 верно   1*2*3 = (1/4)*1*2*3*4 =6
2)  пусть верно при  k = 

Для доказательства применим метод математической индукции.

1) Очевидно, что при  n = 1 данное равенство справедливо
 1*2*3 = (1/4)*1*2*3*4 =6
2) Предположим, что оно справедливо при некотором  k , т.е. имеет место
1*2*3+2*3*4+...+k(k+1)(k+2) = (1/4)*k(k+1)(k+2)(k+3)  
3) Докажем, что тогда оно имеет место и при  k + 1 .
 Рассмотрим   соответствующую сумму при  n = k + 1 : 
1*2*3+2*3*4+...+k(k+1)(k+2) +(k+1)(k+2)(k+3)=
(1/4)*k(k+1)(k+2)(k+3) +(k+1)(k+2)(k+3) =(1/4)*(k+1)(k+2)(k+3) (k +4).
Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при k           вытекает, что оно справедливо и при  k + 1, значит оно справедливо            при любом натуральном  n , что и требовалось доказать.