Сумма двенадцатого и тридцать шестого членов прогрессии (an) равна 400. найдите двадцать четвёртый член этой прогрессии

cos²x +cos²y -sin²(x+y) = 2cosx  ;
(1+cos2x)/2 +(1+cos2y)/2 -(1-cos2(x+y))/2 = 2cosx  ;
1+cos2x +1+cos2y -1+cos2(x+y) = 4cosx  ;
(1+cos2(x+y) ) +(cos2x +cos2y )= 4cosx  ;
2cos²(x+y) +2cos(x+y)cos(x-y) = 4cosx  ;
2cos(x+y)( cos(x+y)+cos(x-y)) = 4cosx ;
2cos(x+y)*2 cosx*cosy = 4cosx ;
4cosx (cos(x+y)cosy -1) =0 ;
а) cosx =0 ;
x =π/2 +πk , k∈Z .
б) cos(x+y)cosy -1 =0 ⇔ cos(x+y)cosy=1 .
б₁)  {cos(x+y) = -1 ; cosy= -1.
{ x+y =π+2πk ; y = π+2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = π+2πn .
б₂)  {cos(x+y) =1 ; cosy= 1 ;
{x+y =2πk ; y = 2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = 2πn .

1)

Так как значения синуса не могут быть большими единицы, получаем:

Так как выражение под радикалом и собственно весь радикал не могут быть отрицательными получаем:

Откуда получаем:

Объединяя полученные результаты получаем: a∈

ответ: a∈

2)

Получаем квадратное уравнение относительно t:

Исходя из того что данное уравнение должно иметь лишь одно решение получаем, что дискриминант должен быть равен нулю:

Но так как нам нужно только одно решение в заданном промежутке получаем:

неравенство не имеет решений

Получаем, что при a∈ данное уравнение имеет лишь один корень

ответ: a∈