Представь в виде дроби z2−64z+3⋅1z2+8z−z+8z2−3z.

Требуется получить трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами,  обозначим цифру, которая повторяется -  k,  т.о.  число будет записываться так kkk  Разложив это число на разрядные слагаемые получим сумму: 
     100 k  + 10k + k =  111*k,  где      k = 1, 2,,9

Последовательный ряд натуральных чисел, начиная с 1 является возрастающей арифметической прогрессией с первым членом а1 = 1  и разностью  d = 1 .
А найденная сумма 111*k  есть Sn   -  сумма n-первых членов арифметической прогрессии, которые надо сложить, чтобы получить наше трехзначное число. Тогда по формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии
     Sn = ( 2а1 + (n-1)*d  / 2 ) * n  

Подставим сюда  числовые значения Sn, а1  и d    и  найдем n :    
  
     111*k  = ( 2*1 + (n-1)*1  / 2 ) * n
     111*k  = ( 2 +n-1  / 2 ) * n
     111*k  = ( 1 +n / 2 ) * n
     111*k  =   n + n^2 / 2
     222*k  =   n + n^2
     n^2  +   n  -  222*k  = 0
         D = 1  +  4*222*k  = 1  +  888*k 
     Т.к.  n  -  натуральное число,  то  SQRT( D )  должно быть целым,  значит
число  1  +  888*k  должно быть полным  квадратом,  т.е  заканчиваться цифрой  1, 4, 5, 6  или  9.  Соответственно 888*k  может заканчиваться на  0, 3, 4, 5, 8.

На 3  или 5  888*k  не может заканчиваться.
Если 888*k  заканчивается  на  0,  то  k=5
Если 888*k  заканчивается  на  4,  то  k=3  или k=8.
Если 888*k  заканчивается  на  8,  то  k=1  или k=6.

Т.о. k  может быть 1, 3, 5, 6, 8.

Проверим при каком из этих значений 1  +  888*k  является  квадратом:
при  k=1    1  +  888*1 = 889    (нет)
при  k=3    1  +  888*3 = 2665  (нет)
при  k=5    1  +  888*5 = 4441  (нет)
при  k=8    1  +  888*8 = 7105  (нет)
при  k=6    1  +  888*6 = 5329  (да,   тогда SQRT( D ) = SQRT( 5329 )  = 73  )
  
n =( -1 + 73)/2  = 72/2  = 36

ОТВЕТ:  нужно сложить 36 последовательных натуральных чисел, начиная с 1, получится число 666.

ответ. В каждом размере либо левых и правых поровну, либо каких-то больше. Если левых и правых поровну, то их по 50 – вот мы и нашли 50 годных пар. Пусть в каждом размере или левых или правых больше. Можно считать, что в двух размерах больше левых, а в еще одном больше правых. (Во всех трех размерах левых быть больше не может, так как всего левых и правых сапог поровну). 
Введем обозначения, пусть в первых двух размерах правых A и B, а левых тогда 100-A и 100-B. В третьем размере левых C, а правых 100-С. Так как в первых двух размерах правых меньше, то там можно найти соответственно A и B пар, а в третьем размере левых меньше, значит там C годных пар. Мы еще не воспользовались условием, что всего 150 правых сапог. Это условие означает, что A+B+(100-C)=150, Откуда A+B=50+C50. Значит, всего пар годных сапог будет A+B+CA+B50.