Решить ! нужно сегодня! заранее !
3у²·(у³+1)

1) 5^n + 3

n=1, 5^1+3=8 делится на 4;

пусть при n=k 5^n + 3=5^k + 3 делится на 4;

n=k+1 5^n + 3=5^(k+1) + 3=5^k *5 + 3 + 15 - 15=5(5^k + 3) + 3 - 15=5(5^k + 3) - 12

5(5^k + 3) делится на 4, -12 делится на 4 => 5(5^k + 3) - 12 делится на 4.

5^n + 3 делится на 4 при любом натуральном n.

 

2) 5^n + 6^n-1

n=1, 5^1 + 6^1 - 1=10 делится на 10;

пусть при n=k 5^n + 6^n - 1= 5^k + 6^k - 1 делится на 10;

n=k+1 5^n + 6^n - 1= 5^(k+1)+ 6^(k+1) - 1=5* 5^k + 6* 6^k - 1 = 5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k=5^k + 6^k - 1 + 20* 5^(k-1) + 30* 6^(k-1)=5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k = 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1))

5^k + 6^k - 1 делится на 10, 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10 => 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10.

5^n + 6^n-1 делится на 10 при любом натуральном n.

 

Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой частью.
Найти нужно:



Найдем общее решение однородного уравнения, то есть 

Воспользуемся методом Эйлера
Пусть , тогда имеем характеристическое уравнение



По теореме Виета: 

Тогда общее однородное будет иметь решение


Теперь найдем частное неоднородное уравнение, то есть ( С1, С2 принимаем за функции)

 
Где  - многочлен степени х

Сравнивая  с корнями характеристического уравнения и принимая во внимания что n=2 частное решение будем искать в виде


Чтобы определить коэффициенты А, В и С воспользуемся методом неопределённых коэффициентов, вычислив предварительно производные:



Подставим в исходное уравнение



Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х



Решая систему уравнений, получаем



Тогда частное неоднородное решение будет иметь 



ОБЩЕЕ НЕОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ, ТО ЕСТЬ 

- ответ