В решении.
Объяснение:
Лодка спускается вниз по реке из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, а затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2 ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 часа?
Формула движения: S=v*t
S - расстояние v - скорость t – время
2 часа 30 мин = 2,5 (часа).
Для ответа на вопрос задачи нужно сначала найти скорость течения реки.
х - скорость течения реки.
3 + х - скорость лодки по течению.
3 - х - скорость лодки против течения.
10/(3 + х) - время лодки по течению.
10/(3 - х) - время лодки против течения.
1) По условию задачи уравнение:
10/(3 - х) - 10/(3 + х) = 2,5
Умножить уравнение на (3 + х)(3 - х), чтобы избавиться от дробного выражения:
10*(3 + х) - 10*(3 - х) = 2,5*(9 - х²)
30 + 10х - 30 + 10х = 22,5 - 2,5х²
2,5х² + 20х - 22,5 = 0
Разделить уравнение на 2,5 для упрощения:
х² + 8х - 9 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 64 + 36 = 100 √D= 10
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-8-10)/2 = -18/2 = -9, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-8+10)/2
х₂=2/2
х₂=1 (км/час) - скорость течения реки.
Проверка:
10/2 - 10/4 = 5 - 2,5 = 2,5 (часа), верно.
2) Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 часа?
х - собственная скорость лодки.
х + 1 - скорость лодки по течению.
10/(х + 1) - время лодки по течению.
По условию вопроса уравнение:
10/(х + 1) = 2
10 = 2(х + 1)
10 = 2х + 2
10 - 2 = 2х
2х = 8
х = 8/2
х = 4 (км/час) - такой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 часа.
ответ:![\left[-5;-\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3};-\dfrac{7}{2}\right)\cup\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left\{\dfrac{-11+4\sqrt{7}}{9};\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3};\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\right\}](/tpl/images/1360/3525/34116.png)
Объяснение:
Исходная дробь равносильна следующей системе (числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю + ОДЗ):
В первом уравнении произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Второе неравенство равносильно тому, что подкоренное выражение не равно нулю. Значит, вместе второе и третье образуют неравенство 2x + y - 1 > 0 ⇔ y > -2x + 1. Вернёмся к первому уравнению:
В первом уравнении сделаем замену |x| + |y| = t.
По теореме Виета 
Получаем 
Третье уравнение — уравнение окружности с центром (0; 0) и радиусом 4. Первые два уравнения — уравнения квадратов с центром в точке (0; 0), наклонённых на 45° и диагоналями 6 и 10: действительно, если раскрыть модуль y, а всё без y перенести в правую сторону, то при y ≥ 0 y = -|x| + 3, при y < 0 y = |x| - 3. Аналогично с |x| + |y| = 5.
Учтём ограничение y > -2x + 1: нам подохдят все y, что выше прямой -2x + 1. Всё вместе это выглядит, как на первой картинке. Теперь нужно обрезать всё, что не попадает в синюю область (см. вторую картинку).
Для выполнения второго задания вычислим точки пересечения квадратов и окружности с прямой y = -2x + 1, а также точки пересечения окружности и большого квадрата.
При x < 0: 
При 0 ≤ x < 0,5: 
— не подходит
При x ≥ 0,5: 
При x < 0: 
При 0 ≤ x < 0,5: 
— не подходит
При x ≥ 0,5: 
Решим первое уравнение:
Прямая y = px - 1 — прямая, проходящая через точку (0; -1). Действительно, если подставить x = 0, вне зависимости от параметра p при данном x y = -1. p регулирует наклон прямой. Будем вращать прямую около точки (0; -1) и отмечать промежутки (красным), где прямая "начинает" и "заканчивает" иметь две общие точки (см. третью картинку).
На рисунке отмечены все промежутки и частные случаи, когда прямая имеет две общие точки. Выразим p через x и y:
Для 
Для 
Для 
Для 
Для 
Для 
Для 
Для 
Итого
![p\in\left[-5;-\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3};-\dfrac{7}{2}\right)\cup\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\\\cup\left\{\dfrac{-11+4\sqrt{7}}{9};\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3};\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\right\}](/tpl/images/1360/3525/b9f45.png)
