Объяснение:Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:
y'+2y/x=y² *Sin(x)
Найти общее решение уравнения
y'+2*y/x=y² *sin(x)
Это уравнение Бернулли при n=2.
Разделив обе части уравнения на y² получаем:
y'/y²+2/(x·y)=sin(x)
Делаем замену: z=1/y
Тогда z' = -1/y2
и поэтому уравнение переписывается в виде
-z'+2·z/x=sin(x)
Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.
Представим в виде:
-z'+2·z/x = sin(x)
Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
-z'+2*z/x= 0
1. Решая его, получаем:
z' = 2·z/x dz/dx=2z/x dz/z= 2dx/x
Интегрируя, получаем: ∫dz/z= 2∫dx/x
ln(z) = 2·ln(x)+lnC ln(z) = ln(x²)+lnC
z = Cx²
Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:
z(x) = C(x)·x², z'(x) = C'(x)·x²+C(x)·(x²)'
-2·C(x)·x-C'(x) ·x²+2·z/x=sin(x)
-C'(x)·x² = sin(x)
или C'(x) = -sin(x)/x²
Интегрируя, получаем: C(x)=-∫Sin(x)/x² dx = (нтегрируем по частям) =С+ln(x)- ln(x²)/2+Sin(x)/x
Из условия z(x)=C(x)*x2, получаем:
z(x) = C(x)·x² = x²·(C+ln(x)-ln(x²)/2+0(x)+sin(x)/x)
или z = C·x²+x²·ln(x)-x²·ln(x²)/2 +x·sin(x)
Поскольку z=1/y, то получим:
1/y=C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x) ответ: 1/у= C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)
a)5(x+1)-x>2(x+1) c)5x(2x+1)<10x(x+1)-1 e)(b-1)(b+1)≤b(b+2)
5x+5-x>2x+2 10x²+5x<10x²+10x-1 b²-1≤b²+2b
4x+5>2x+2 10x²+5x-10x²+10x+1<0 b²-1-b²+2b≤0
4x+5-2x-2>0 15x+1<0 -1+2b≤0
2x+3>0 15x<-1 2b≤1
2x>-3 x<-1/15 b≤0,5
x>-1,5 x∈(-∞;-1/15) b∈(-∞;0,5]
x∈(-1,5;+∞)
f)(k+2)(k-3)≥k(k+4)
k²-3k+2k-6≥k²+4k
k²-k-6≥k²+4k
k²-k-6-k²+4k≥0
3k-6≥0
3k≥6
k≥2
x∈[2;+∞)
