Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

f(x)=x^2+4/x на промежутке [-4;-1]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, нам нужно сначала найти критические точки и точки экстремума на этом промежутке.

1️⃣ Шаг: Найдем производную функции f(x).

Для нахождения критических точек (точек, где производная равна нулю или не существует), нужно приравнять производную функции к нулю.

f'(x) = (2x) - (4/x^2)
Приравниваем производную к нулю:
(2x) - (4/x^2) = 0

2️⃣ Шаг: Решим это уравнение.

Умножим оба выражения на x^2, чтобы избавиться от дроби:
2x^3 - 4 = 0
2x^3 = 4
x^3 = 2
x = ∛2

3️⃣ Шаг: Найдем вторую производную функции f(x).

f''(x) = 2 + (8/x^3)

4️⃣ Шаг: Исследуем точки экстремума.

Подставим найденные точки во вторую производную функции f(x) и определим их характеристики:

а) x = -4:
f''(-4) = 2 + (8/(-4)^3) = 2 - (8/(-64)) = 2 + 1/8 = 2 + 0.125 = 2.125 > 0
Знак второй производной положительный, значит, точка является минимумом.

б) x = -1:
f''(-1) = 2 + (8/(-1)^3) = 2 - 8 = -6 < 0
Знак второй производной отрицательный, значит, точка является максимумом.

5️⃣ Шаг: Найдем значения функции в найденных точках.

f(-4) = (-4)^2 + 4/(-4) = 16 - 1 = 15
f(-1) = (-1)^2 + 4/(-1) = 1 - 4 = -3

Таким образом, на промежутке [-4;-1] наибольшее значение функции f(x) равно 15, а наименьшее значение равно -3.