Арифметическая прогрессия 9класс с 4 задания

№ 1.

а) Пропорция: 12,5 - 100%

                          х = 72%

х = 12,5 · 72 : 100 = 9

ответ: 72% от 12,5 = 9.

б) 33 1/3 = (33·3+1)/3 = 100/3

Пропорция: 100/3 - 100%

                      х - (100/3)%

х = 100/3 · 100/3 : 100 = 10000/9 · 1/100 = 100/9 = 11 целых 1/9

ответ: (33 1/3)% от 33 1/3 = 11 целых 1/9.

№ 2.

а) Пропорция: 9 - 3%

                         х - 100%

х = 9 · 100 : 3 = 300

ответ: 3% от 300 = 9.

б) Пропорция: 100/3 - (100/3)%

                          х - 100%

х = 100/3 · 100 : 100/3 = 10000/3 · 3/100 = 100

ответ: (33 1/3)% от 100 = 33 1/3.

Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.

b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.

Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.