Левая часть квадратного уравнения - это квадратный трехчлен.
Разложение квадратного трехчлена на множители
аx² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂), где х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена.
Воспользуемся этой формулой, применив ее справа налево:
1) х₁ = 2, х₂ = 3
(х - 2)(х - 3) = 0,
х² - 2х - 3х + 6 =0,
х² - 5х + 6 = 0
2) х₁ = 6, х₂ = 2
(х - 6)(х - 2) = 0,
х² - 2х - 6х + 12 =0,
х² - 8х + 12 = 0
3) х₁ = 5, х₂ = 3
(х - 5)(х - 3) = 0,
х² - 5х - 3х + 15 =0,
х² - 8х + 15 = 0
4) х₁ = 1, х₂ = 2
(х - 1)(х - 2) = 0,
х² - 2х - х + 2 =0,
х² - 3х + 2 = 0
первые три из целых чисел a, b, c, k образуют арифметическую прогрессию,
значит
b=a+d
c=a+2d
последние три образуют геометрическая прогрессию,
значит
b; c=b·q и k=b·q²
Так как
По условию
a+k=36,
b+c=27
то из второго выражения ⇒ b+bq=27⇒b(1+q)=27
По условию числа a;b;c;k - целые, значит возможны варианты
b(1+q)=27·1 или b·(1+q)=9·3 или b·(1+q)=3·9
(1):
b=±27
1+q=±1
Но 1+q≠1 , так как q≠0 значит остается возможным
выбор 1+q=-1 ⇒ q=-2 и b=-27
c=bq=54
k=cq=-108
d=c-b=81
a=b-d=-27-81=-108
a+k=-108+108=36 неверно
(2)
b·(1+q)=9·3
b=9; q=2; c=18; k=36;
a=0
0;9;18;36
a+k=0+9=36
b+c=9+18=27
верно.
Значит k=36 входит в ответ
b=-9; q=-4
c=36;
k=-144
d=c-b=36-(-9)=45
a=b-d=-9-45=-54
a+k=-54-144≠36
выбор b=-9; q=-4 невозможен
(3)
b·(1+q)=3·9
b=3; 1+q=9 ⇒ b=3;q=8; c=24;q=cq=8·24=192;
d=c-b=24-3=21; a=b-d=24-21=-3
a+k=-3+192≠36
b=-3; 1+q=-9; q=-10 ⇒ c=30; k= -300
d=33; a=-36
a+k≠36
О т в е т. k=36
