Возведем обе части равенства x + y + z = 0 в квадрат. Получим (x + y + z)² = 0 => (x + y)² + 2(x + y)z + z² = 0 => x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 0 => x² + y² + z² = -2(xy + xz + yz). Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Получим (x² + y² + z²)² = 4(xy + xz + yz)² = 4((xy + xz)² + 2(xy + xz)yz + y²z²) = 4(x²y² + 2x²yz + x²z² + 2y²xz + 2z²xy + y²z²) = 4(x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z)) = 4(x²y² + x²z² + y²z²), т. к. x + y + z = 0. С другой стороны (x² + y² + z²)² = ((x² + y²)² + 2(x² + y²)z² + z⁴) = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + 2x²z² + 2y²z² + z⁴ = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²). Тогда (x² + y² + z²)² = 4(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) => x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x²y² + x²z² + y²z²). Отсюда получаем требуемое равенство (x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x⁴ + y⁴ + z⁴).
Правила сайта требуют расписать решение.
В общем, тут дело вот в чем.
Один косинус должен равняться 1, а другой -1, иначе произведение -1 не получится.
{ cos (Π*√(x+1)) = -1
{ cos (Π*√(x-4)) = 1
Решаем
{ Π*√(x+1) = Π + 2Π*k
{ Π*√(x-4) = 2Π*n
Делим на П
{ √(x+1) = 2k + 1
{ √(x-4) = 2n
Получаем
{ x = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k
{ x = 4n^2 + 4
Приравниваем правые части
4k^2 + 4k = 4n^2 + 4
Делим на 4
k^2 + k = n^2 + 1
k(k + 1) = n^2 + 1
Слева произведение двух последовательных чисел.
Справа положительное число, на 1 больше квадрата.
При k = -2; n = 1 будет
x = 4*(-2)^2 + 4(-2) = 4*1^2 + 4 = 8
При k = n = 1 будет
x = 4*1^2 + 4*1 = 4*1^2 + 4 = 8.
Ни при каких других k и n решений нет.
ответ x = 8 в обоих случаях.
