Три додатні числа, сума яких дорівнює 12, утворюють арифметичну прогресію. Якщо до них відповідно додати 1, 2, 6, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

Обычно, если квадратное неравенство выполняется при любых действительных x, либо же напротив - не имеет решений, то дискриминант этого уравнения явно отрицательное число. К слову, если в трехчлене ax²+bx+c, где D<0 и a>0, то f(x)>0 при любом x.

Следовательно, нам необходим отрицательный дискриминант и положительный коэффициент старшего члена.

1). D/4=(m+1)²-(m²+4m-5)=m²+2m+1-m²-4m+5=6-2m=2(3-m)
2(3-m)<0
3-m<0
m>3

2). m²+4m-5>0
D/4=4+5=9
m₁=-2+3=1
m₂=-2-3=-5
_(+)__\-5__(-)__1/__(+)__
m∈(-∞;-5)∪(1;∞)

Объединив множества полученных значений m, утвердим окончательный ответ:
m∈(3 ; ∞)

По признаку Паскаля, у числа A будет такой же остаток при деланий на 11, что и у разности сумм чисел находящийся на нечётной и четной позиции данного числа соответственно.

То есть к примеру 376 = (3+6)-7 = 2 значит остаток равен 2

Перейдя к задаче

12345678910...2017

Разобьём число на две группы

[12][34][20][17]

1)

Для отрезка от 1 до 9

Чёт поз 2+4+6+8=20

Нечет поз 1+3+5+7+9=25

Разность 25-20=5

2)

Для отрезка от 10 до 99

Чет поз (1+2+...+9)*10=450

Нечет поз (1+2+...+9)*10=450

Разность 450-450=0

3)

Для отрезка от 100 до 999

При разбиений видно некоторые числа будут константами, другие изменятся в пределах от 1 до 9, положим что 1<=x<=9

Чёт поз

50*x+(1+2+...+9)*5+20+40+60+80=50x+425

Нече поз

50x+(1+2+...+9)*5+10+30+50+70+90=50x+475

Значит разность 9*50=450

4)

Для отрезка от 1000 до 1099

Чет поз 55*10=550

Нечет поз 45*10=450

Разность 450-550 = -100

5)

Для отрезка 1100 до 1999

1<=x<=9

Чет поз 9*55*10 = 4950

Нечет поз сумма 100x+(10+20+...+90)=100x+450 = 8550

Разность 8550-4950 =3600

6) для отрезка 2000 до 2018

Чет поз 47

Нечет поз 81

Разность 81-47=34

7)

Сумма всех

5+0+450-100+3600+34= 3989 = 7 mod 11

ответ 7