Вычислите:
1) sin 105° * sin 75°; 2) 4sin 37,5° * sin 7,5°; 3) 8sin 22,5° * cos 7,5°
1 ) sin 105° * sin 75° = (1/2)* (cos(105° -75°) - cos(105°+75°) )=
(1/2)* (cos30°-cos180°) =(1/2)* ( (√3)/ 2 - (-1) ) = (1/2)*((√3) / 2+ 1 ) = (√3+2)/4
- - - - - - -
2 ) 4sin 37,5° * sin 7,5° =2*(cos(37,5° - 7,5°) - cos(37,5° +7,5°) ) =
2*(cos30° - cos45°) =2*( (√3)/2 -(√2) /2) = √3 - √2 .
- - - - - - -
3 ) 8sin 22,5° * cos 7,5° = 4*( sin(22,5°+7,5°) +sin(22,5°-7,5°) ) =
4*( sin30° + sin15° ) = 4*( 1/2 + sin(60 - 45°) ) =
4*( 1/2 + sin60°*cos45°- cos60°*sin45° ) = || cos45°=sin45 =√2 / 2 ||
= 4*( 1/2 + √2 (√3 - 1) / 4 ) = 2 + √6 - √2 .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
P.S. sin15° =sin(45° -30°) = sin45°*cos30° - cos45°* sin30° =
(√2 / 2)*(√3 / 2 -1 / 2) = (√6 - √2) / 4 .
sin15° =√( (1 -cos30°) / 2 ) =√( (1 -√3 /2) / 2 ) =√( (2-√3 ) / 4 ) =
√( (4-2√3 ) / 8 ) =√( (3-2√3+1) / 8 ) =√( (√3 - 1 )² / 8 ) = (√3 - 1) /2√2 =
√2(√3 - 1) /4 = (√6 - √2) / 4 .
Пусть в турнире участвовало N человек.
Каждый сыграл в турнире N-1 партию (со всеми, кроме себя), т.е. все вместе сыграли N*(N-1) партий.
НО! Каждая партия игралась двумя участниками, т.е. при первом подсчета мы каждую отдельно сыгранную партию посчитали два раза (для первого участника и для второго), следовательно общее число сыгранных партий будет равно N*(N-1)/2.
Поскольку в шахматной партии разыгрывается ровно одно очко, то всего очков в турнире было разыграно столько, сколько было сыграно партий, т.е. N*(N-1)/2.
Игрок, занявший первое место выиграл все партии, а сыграл он N-1 партию, значит и очков он набрал ровно столько.
Следуя этим заключениям можем записать уравнение:
5*(N-1) = N*(N-1)/2 - (N-1)
Количество очков первого игрока, умноженное на пять, равно общему числу очков без учета набранных первым (т.е. количеству очков, набранных остальными участниками).
Теперь осталось решить уравнение. Делим его на (N-1).
5 = N/2 - 1
Вполне очевидно, что N>1, поэтому выполненное деление вполне допустимо (делим не на ноль).
N/2 = 6
N=12
Т.е. всего участников в турнире было 12
Победитель набрал 11 очков из 66 возможных, т.е. в 5 раз больше чем остальные.
ответ: 12 человек участвовало в турнире.
