Даны точки A(3;9) B(8;4) C(-1;7).
1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности.
Координаты середин сторон треугольника (основания медиан).
х у
А₁ 3,5 5,5
х у
В₁ 1 8
х у
С₁ 5,5 6,5
Составим уравнения серединных перпендикуляров для сторон АВ и ВС, которые, как известно, проходят через основания медиан A1,B1.
и центр описанной окружности O2:
для стороны AB имеем
C1O2: x−xC1yB−yA=y−yC1xA−xB ⇔ x−5.54−9=y−6.53−8 ⇔ x−5.5−5=y−6.5−5 ⇔ x−y+1=0;
для стороны AC имеем
B1O2: x−xB1yC−yA=y−yB1xA−xC ⇔ x−17−9=y−83−(−1) ⇔ x−1−2=y−84 ⇔ 2x+y−10=0.
Теперь находим координаты центра описанной окружности как точки пересечения срединных перпендикуляров.
x−y+1=0
2x+y−10=0 сложение
3х - 9 = 0. Отсюда х = 9/3 = 3. Значение по оси Оу находим постановкой значения х = 3 в уравнение перпендикуляра. у = х + 1 = 3 + 1 = 4.
Координаты центра N(3; 4).
Находим радиус R = √((3 - 3)² + (4 - 9)²) = √(0 + 25) = 5.
Уравнение окружности: (x − 3)² + (y − 4)² = 5².
2) Написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Примем центр эллипса в начале координат (иначе нет решения без дополнительных данных).
(х²/а²) + (у²/b²) = 1. Подставим заданные координаты точек В и С.
(64/а²) + (16/b²) = 1.
(1/а²) + (49/b²) = 1. Замена: (1/а²) = u, (1/b²) = v. Система:
64u + 16v = 1 64u + 16v = 1
1u + 49v = 1 Умножим = 64 64u + 3136v = 64 вычтем 2 - 1
3120v = 63
v = 63/3120 = 21/1040 ≈ 0,020192308
Находим параметр b = √(1/v) = 7,037316.
u = 1 - 49v = 0,010577.
Находим параметр a = √(1/u) = 9,72345.
Уравнение эллипса (х²/9,72345²) + (у²/7,037316²) = 1.
Параметр с = √(a² - b²) = 6,709817.
Эксцентриситет е = с/а = 6,709817/9,72345 = 0,690066.
3) точки и кривые в системе координат в приложении.
Объяснение:
1) (a-5)(a+3) < (a+1)(a-7)
a^2-5a+3a-15 < a^2+a-7a-7
-2a-15 < - 6a-7
4a < 8
a < 2
Это неравенство верно вовсе не при любых а, а только при а меньше 2.
2) [5x+2] <= 3
Видимо, квадратные скобки это модуль. Неравенство распадается на два:
а) 5x+2 >= - 3
5x >= - 5
x >= - 1
б) 5x+2 <= 3
5x <= 1
x <= 1/5
Целые решения: - 1; 0
3) Пусть одна сторона равна 5 см, а другая больше неё в 4 раза, то есть 20 см.
Тогда периметр равен 2*(5+20) = 2*25 = 50 см.
Если первая сторона меньше 5 см, то вторая меньше 20 см, а периметр меньше 50 см.
