Решить методом введения новой переменной

(3 a - 5 b) (a^2 + 2 a b - 4 b^2) - (3 a - 5 b) (a^2 + 2 a b - 7 b^2)
3 a^3 + a^2 b - 22 a b^2 + 20 b^3 - (3 a - 5 b) (a^2 + 2 a b - 7 b^2)
3 a^3 + a^2 b - 22 a b^2 + 20 b^3 - 3 a^3 + a^2 b - 31 a b^2 + 35 b^3
3 a^3 + a^2 b - 22 a b^2 + 20 b^3 + -3 a^3 - a^2 b + 31 a b^2 - 35 b^3
(20 b^3 - 35 b^3) + (31 a b^2 - 22 a b^2) + (a^2 b - a^2 b) + (3 a^3 - 3 a^3)
-15 b^3 + (31 a b^2 - 22 a b^2) + (a^2 b - a^2 b) + (3 a^3 - 3 a^3)
-15 b^3 + 9 a b^2 + (a^2 b - a^2 b) + (3 a^3 - 3 a^3)
-15 b^3 + 9 a b^2 + (3 a^3 - 3 a^3)
9 a b^2 - 15 b^3
3 b^2 (3 a - 5 b)

Ecли  число a при делении на число b дает остаток d, то справдливо равенство:
a=br+d
r– частное, d– остаток,
1≤d < b
 
Возводим равенство в степень n:
aⁿ=(br+d)ⁿ
Раскрывая бином, записанный справа, замечаем, что все слагаемые
кроме последнего содержат b ( или b в какой–то степени и потому кратны b)
Остаток от деления aⁿ на b равен остатку от деления dⁿ на b.

30⁴⁰=(30²)²⁰=(900)²⁰=(830+70)²⁰

Остаток от деления 30⁴⁰ на 83 равен остатку от деления 70²⁰ на 83.

70²⁰=(70²)¹⁰=(4900)¹⁰=(4897+3)¹⁰

Остаток от деления 70²⁰ на 83 равен остатку от деления 3¹⁰ на 83.

3¹⁰=(3⁵)²=(243)²=(166+77)²
Остаток от деления 3¹⁰ на 83 равен остатку от деления 77² на 83.

77²=5893+36
Остаток от деления 77² на 83 равен 36.

О т в е т. 36