x = π*n , n∈Z
x = -π/4 +π*k , k∈Z
Объяснение:
Используем формулу понижения степени :
sin^2(t) = (1-cos(2t) )/2
( (1-cos(2x) )/2)^2 + ( ( 1-cos(2x +π/2) )/2)^2 = 1/4
Умножаем на 4 обе части уравнения, учитывая, что
cos(2x +π/2) = -sin(2x)
(1-cos(2x) )^2 +(1+sin(2x) )^2 = 1
1 -2*cos(2x) +cos^2(2x) +1+2*sin(2x) +sin^2(2x) = 1
Поскольку : cos^2(2x)+sin^2(2x) = 1
-2*cos(2x)+2*sin(2x) = -2
cos(2x) -sin(2x) = 1
√2/2 *( cos(2x) -sin(2x) ) =√2/2
cos(2x+π/4) = √2/2
2x+π/4 = +-π/4 +2*π*n , n∈Z
x+π/8 = +-π/8 +π*n, n∈Z
x = π*n , n∈Z
x = -π/4 +π*k , k∈Z
подставим 4а во второе уравнение системы. получим 4ху=2х²+2у²-2, упростим
-2ху+х²+у²=1; (х-у)²-1=0; (х-у-1)*(х-у+1)=0; 1)х=у+1 или 2)х=у-1 получили две прямые.
Если х=у+1,то 4у*(у+1)+2=а; 4у²+4у+2=а; (2у+1)²=а-1; Если а=1 ,то получим один корень, если а>1, то два корня. Если а<1, то корней нет.
Если рассмотреть первое уравнение, то при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (0, 0) и радиусом а√2, тогда система при а=0 имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи. При а≤0 уравнение не имеет смысла.
используем теперь результат выше и уточним ответ на задачу.
Если х=у+1, то у²+у²+2у+1=2а,у²+у+1/2=а; (у+1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4 два различных решения.
Если х=у-1, то у²+у²-2у+1=2а,у²-у+1/2=а; (у-1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4 два различных решения.
