Пусть двузначное число N состоит из х десятков и у единиц, т.е. число имеет вид ху, (где х ≠ 0, иначе число было бы однозначным)
и оно может быть записано как сумма разрядных слагаемых N = 10х + у
Тогда составим систему
( х + у)*5 = 10х + у
2.25*ху = 10х + у
5х + 5у = 10х + у
5х = 4у
у = 5х /4
Тогда, подставив у во второе уравнение, получим:
9/4*х*5х /4 = 10х + 5х /4
9х/4* 5х/4 = 10х + 5х/4 |*16
9х* 5х = 160х + 20х
45х² = 180х | : 45
х² = 4х | :х (х ≠ 0)
х = 4
у = 5х /4 = 5*4 /4 = 5
ответ: это число 45.
По условию, нужно найти сумму несократимых дробей вида 
, это означает, что числа 
и 1001 - взаимно простые.
Разложим число 1001 на простые множители:
Рассмотрим искомую сумму, без учета условия о несократимости дроби . Тогда получим:
Задача сводится к нахождению суммы 
. Но мы помним, что на самом деле нас интересует сумма только тех чисел от 1 до 2002, которые являются взаимно простыми с числом 1001.
Найдем количество чисел от 1 до 2002, которые не являются взаимно простыми с числом 1001. По отношению к делимости на делители числа 1001, то есть на 7, 11, 13 все такие числа можно разделить на несколько групп:
- делятся на 7, но не делятся на 11, 13;
- делятся на 11, но не делятся на 7, 13;
- делятся на 13, но не делятся на 7, 11;
- делятся на 7, 11, но не делятся на 13;
- делятся на 7, 13, но не делятся на 11;
- делятся на 11, 13, но не делятся на 7;
- делятся на 7, 11, 13.
Количества таких чисел соответственно равно:
Найти итоговое количество чисел, не взаимно простых с 1001 можно по формуле включений-исключений, которая запишется в виде:
Формула подразумевает, что числа, имеющие два делителя из набора (7, 11, 13) были посчитаны среди первых трех слагаемых дважды, поэтому их необходимо один раз отнять. В свою очередь числа, делящиеся на каждое число набора (7, 11, 13) были посчитаны 3 раза со знаком "плюс" и 3 раза со знаком "минус", поэтому их необходимо отдельно прибавить.
Тогда, количество чисел, взаимно простых с 1001:
Составим следующую конструкцию. запишем числа от 1 до 2002 в столбик, а точнее для дальнейшего удобства - от 0 до 2002:
Во второй столбик запишем те же самые числа в обратном порядке:
Заметим, что сумма чисел в каждой строчке равна 2002.
Нетрудно понять, что два числа в одной строчке либо оба делятся на 7 (аналогично, на 11, на 13), либо оба не делятся. Поскольку 2002 делится на 7, то делимость первого числа в строчке гарантирует делимость второго числа и наоборот.
Тогда, вычеркнем из нашей таблицы 562 строчки, в которых первое число (а значит и второе тоже) не является взаимно простым с числом 1001. Вычеркнем также первую вс строчку (0-2002).
В таблице останется как было определено ранее 1440 чисел в каждом из столбцов. Поскольку мы знаем суммы чисел в каждой строчке, то легко определяется сумма всех чисел в таблице:
Заметим, что в таблице записан двойной набор тех чисел, что нам нужно сложить в числителе искомой величины.
Тогда:
ответ: 1440
