1/x + 1/y + 1/z + 9/4 ≤ 1/x² + 1/y² + 1/z²
Вначале прибавим к обеим частям неравенства 27/4 = 3*(9/4). Получим 1/x + 1/y + 1/z + 9/4 + 3*(9/4) ≤ 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4. Отсюда
1/x + 1/y + 1/z + 9 ≤ 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4. Рассмотрим квадрат разности (1/x - 3/2)². Он неотрицателен, т. е. (1/x - 3/2)² ≥ 0. Распишем его 1/x² - 2*(3/2x) + 9/4 ≥ 0. Значит 1/x² + 9/4 ≥ 3/x. Аналогично рассматривая
квадраты разностей (1/y - 3/2)² и (1/z - 3/2)² получим, что 1/y² + 9/4 ≥ 3/y и 1/z² + 9/4 ≥ 3/z. Складывая их, получаем, что 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4 ≥ 3/x + 3/y + 3/z. Подставим сначала этот результат в неравенство выше, имеем 1/x + 1/y + 1/z + 9 ≤ 3/x + 3/y + 3/z. Отсюда 9 ≤ 3/x + 3/y + 3/z - (1/x + 1/y + 1/z) = 2(1/x + 1/y + 1/z). Итак получили, что 9 ≤ 2(1/x + 1/y + 1/z). Покажем его справедливость. Согласно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (x + y + z)/3 ≥ 3/(1/x + 1/y + 1/z) или 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x + y + z). Т. к. по условию сумма x + y + z = 2, то 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/2. Тогда 2(1/x + 1/y + 1/z) ≥ 9. Что и требовалось.
Функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел, называется линейной функцией.
k – угловой коэффициент (действительное число), равный тангенсу угла наклона графика функции к оси ОХ.
b – свободный член (действительное число), показывающий смещение точки пересечения графиком функции оси ОY от начала координат.(Если b = 0, то график функции проходит через точку (0; 0))
x – независимая переменная.
Графиком линейной функции является прямая. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
1). Очевидно, что первые две прямые являются таким частным случаем.
То есть в функциях у = 0 и у = 6 коэффициент k равен нулю, а коэффициенты b равны 0 и 6 соответственно.
Так как в обеих функциях коэффициент k = 0, то графики функций имеют одинаковый угол наклона к оси ОХ, равный нулю. Следовательно, графики данных функций параллельны друг другу.
Расстояние между графиками определяется разностью коэффициентов b:
b₂ - b₁ = 6 - 0 = 6
Таким образом, графики функций у = 0 и у = 6 параллельны друг другу и оси ОХ и отстоят друг от друга на 6 единиц по оcи OY.
2). Графики функций у = 0,5х + 4 и у = 0,5х - 4 имеют коэффициенты:
k₁ = 0,5; k₂ = 0,5 и коэффициенты b₁ = 4; b₂ = -4
Так как k₁ = k₂, то графики функций имеют одинаковый угол наклона к оси ОХ и, следовательно, также параллельны друг другу.
Расстояние между точками пересечения графиками функций оси OY равно:
b₁ - b₂ = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8
Таким образом, графики функций у = 0,5х + 4 и у = 0,5х - 4 параллельны друг другу и не параллельны оси ОХ и отстоят друг от друга на 8 единиц по оcи OY.
