Разложите многочлен 42a3−56b на множители и отметьте верный ответ.

14(3a3−4b)

7(6a3−8b)

2(21a3−28b)

14(4b−3a3)

​

1.

(sin3A+sinA) / (cos3A+cosA) =

= (2·sin((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) / (2·cos((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) =

= (2·sin2A·cosA) / (2·cos2A·cosA) =

= (2·sin2A) / (2·cos2A) =

= (2·sin2A·cos2A) / (2·cos2A·cos2A) =

= (sin4A) / (2·cos²2A) =

= (sin4A) / (2·cos²2A) = (sin4A) / (1+cos4A)

2.

4·cos(A/3)·cos(A/4)·cos(A/6) =

= 4·cos(A/4)·(cos(A/3)·cos(A/6)) =

= 4·cos(A/4)·(1/2)·(cos(A/3+A/6)+cos(A/3-A/6)) =

= 2·cos(A/4)·(cos(A/2)+cos(A/6)) =

= 2·cos(A/4)·cos(A/2)+2·cos(A/4)·cos(A/6) =

= 2·(1/2)·(cos(A/4+A/2)+cos(A/4-A/2)) +

   + 2·(1/2)·(cos(A/4+A/6)+cos(A/4-A/6)) =

= cos(3A/4)+cos(-A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12) =

= cos(3A/4)+cos(A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12)

3*9^n + 7*7^2n = 3*(3^2)^n + 7*7^2n = 3^3n + 7^3n. Докажем индукцией по n кратность исходного выражения 10. При n = 1 кратность подтверждается: 3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370 = 37*10. Допустим, что  3^3n + 7^3n кратно 10. Докажем, что для любого n оно кратно и при n + 1. Тогда 3^3(n+1) + 7^3(n+1) = 3^3n*3 + 7^3n*7 = (3+7)*(3^n+7^3n) - 3*7^3n - 7*3^3n = (3+7)*(3^3n+7^3n) - 3*7(3^3(n-1) + 7^3(n-1)) = 10*(3^3n+7^3n) - 21*(3^3(n-1) + 7^3(n-1)). Первый член кратен 10, так же, как и второй, поскольку 3^3(n-1) + 7^3(n-1) кратно 10 по предположению индукции. Следовательно, исходное число 3*9^n + 7*7^2n кратно 10 при любом натуральном n.