Контрольная работа № 8. – 7 класс
по теме «Преобразование целых выражений»
Вариант 2
1.​Преобразуйте в многочлен.
1) (4-b)(4 + b)-2b(b-3); 2) 5у(у + 2) + (у-4)2;
2. Разложите на множители.
1) 9х2-х4;​2) х2- 6х + 9.
3. У выражение и найдите его значение при y = 1.5
(2у-1)(4у2 + 2у+1)-у(у-1)(у+1).
4. Представьте в виде произведения

Объяснение:

Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство yn<yn+1.

Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N  выполняется неравенство yn>yn+1.

Выпишем n-й и n+1-й члены последовательности: yn=n213n, yn+1=(n+1)213n+1.

 

Чтобы сравнить эти члены, составим их разность и оценим её знак:

yn+1−yn=(n+1)213n+1−n213n=(n2+2n+1)−13n213n+1=2n+1−12n213n+1

 

Для натуральных значений n справедливы неравенства 2n≤6n2 и 1<6n2.

Сложив их, получим 1+2n<12n2, т.е. для любых натуральных значений n справедливо неравенство 2n+1−12n213n+1<0, значит, yn+1−yn<0.

 

Итак, для любых натуральных значений n выполняется неравенство yn+1<yn,

а это значит, что последовательность (yn) убывает.

1) 
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
- уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала

Интегрируя обе части уравнения, получаем

- общее решение


Разделяем переменные


интегрируя обе части уравнения, получаем

 - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3.
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.


Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
, тогда 

Подставляем в исходное уравнение



Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала



Разделяем переменные



Интегрируя обе части уравнения, получаем





Обратная замена

 - общий интеграл

Пример 4. 
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:


Тогда общее решение будет иметь вид:

 - общее решение

Пример 5. 
Аналогично с примером 4)
Пусть , тогда получаем


Общее решение: 

Найдем производную функции


Подставим начальные условия



 - частное решение