у выражение: cos2a/ctg²a-tg²a

Перший б
методом мат. індукції

база індукції: при n=1 твердження вірне
так як кратне 3

гіпотеза індукції: Нехай при n=k твердження вірне
тобто справделиво що кратне 3

індцукційний перехід. Доведемо тепер що при n=k+1твердження також вірне
кратне 3, там як перший доданок кратний 3 (перший множник добутку 9 кратний 3), другий кратний у силу припущення індукції.
За приниципом мат.ідукції твердження є вірним.
====================================
другий б
так як число =10000....0 (одна одиниця, n нулів, причому нуль остання цифра),то
число =10000...0002(одна одиниця, n-1 нуль, одна 2)
сума цифр числа 1+0+0+0+...+0+2=3 а отже за ознакою подільності на 3, дане число кратне 3при будьякому натуральному n
===========
третій б
через залишки від ділення
так як 10 при діленні на 3 дає залишок 1,
то і 10 у степені n=10*10*10*...*10 (n раз) дасть залишок, який дає число 1*1*1*.....*1 (n раз)=1, тобто 1 (1 при діленні на 3дає залишок 1)
а значить число дасть залишок такий же як дасть залишок від ділення суми залишків чисел 1 + 2 =3 , залишок 0 (так як 3 кратне 3), а значить задане число кратне 3
доведено
===========
четвертий б (можна вивести формулу
10^1+2=12=3*4
10^2+2=102=3*34
100^3+2=3*334
....
=3*3333...34 (n-1 трійка і 1 четвірка)
або
пятий б
так як [tex]10^n+2=999..99(n-1 раз) +1+2=9*111...1(n-1) раз+3

Пусть n = 2k
n/12 + n^2/8 + n^3/24 = k/6 + k^2/2 + k^3/3 = k/6 * (1 + 3k + 2k^2) = k/6 * (k - 1)(2k - 1) = k (k - 1)(2k - 1) / 6

Осталось доказать, что при любом целом k число k (k - 1)(2k - 1) делится на 6.
1) Числа k, k - 1 - разной чётности, поэтому одно из них делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2.
2) Докажем делимость на 3. Пусть ни k, ни k - 1 не делятся на 3 (иначе утверждение заведомо верно). Тогда k представимо в виде k = 3m + 2, m - целое. Подставим такое k в выражение 2k - 1.
2k - 1 = 2(3m + 2) - 1 = 6m + 3 = 3(2m + 1)
То, что стоит в скобках, - целое число, поэтому 2k - 1 делится на 3.

Для завершения доказательства отметим, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.