(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
Объяснение:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x2+18x
или
f'(x)=3x(x+6)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x+6) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -6
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f''(x) = 6x+18
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6x+18 = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = -3
(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
Пусть сторона квадрата х см, тогда длина прямоугольника (3х) см, а ширина прямоугольника - (х - 5) см.
Т.к. площадь квадрата находят по формуле S = а², где а - сторона квадрата, о площадь данного квадрата равна (х²) см².
А т.к площадь прямоугольника находят по формуле S = a · b, где a и b - длина и ширина прямоугольника, то площадь данного прямоугольника будет равна S = 3х · (х - 5) = 3х² - 15х (см²).
Т.к. площадь квадрата на 50 см² меньше площади прямоугольника, то составим и решим уравнение:
3x² - 15х = x² + 50,
3x² - x² - 15x - 50 = 0,
2x² - 15x - 50 = 0,
D = (-15)² - 4 · 2 · (-50) = 225 + 400 = 625 ; √625 = 25,
x₁ = (15 + 25)/(2 · 2) = 40/4 = 10,
x₂ = (15 - 25)/(2 · 2) = -10·/4 = -2,5 - не подходит по условию задачи.
Значит, сторона квадрата равна 10 см.
ответ: 10 см.
