Выполнение письменных упражнений 1. Преобразуйте выражение в тождественно равное ему, используя соответствующие свойства действий над числами: 1) -6,2a · 5; 2) 0,3 х · (-12у); 3) -23 · (2a – 3b + 1); 4) 1,5(-3x + 4y – 5z); 5) 13a + 7b – 2a – b; 6) -5,1 a – 4b – 4,9 a + b. 2. Выполните тождественные преобразования выражений: 1) x + (a – b) – (c + d); 2) a + (b – (c – d)); 3) (х – 1) + (12 – 7,5x); 4) 4(6 – 5х) + 17х – 10; 5) 0,2(3a – 1) + 0,3 – 0,6а; 6) -2,6(5 – с) – с + 8. 3. Является ли тождеством равенство (объясните, используя действия над числами): 1) ab + 16c = 16c + ab; 2) 5(b + c) = 5b + 5c; 3) a · 25b = 25ab; 4) (x – x)a = 0? 4. Запишите в виде равенства следующие утверждения: 1) произведение любого числа и нуля равно нулю; 2) сумма двух противоположных чисел равна нулю; 3) произведение двух чисел равно произведению чисел, им противоположных; 4) квадрат любого числа равен квадрату числа, ему противоположного. Есть ли записанные равенства тождественностями? Почему?

ДАНО:  Y = (x²+9)/x

Исследование.

1. Область определения: D(y)= (-∞;0)∪(0;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(0-)= -∞, LimY(0+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 0.  

Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = (х²+9)/x² = 1 - коэффициент наклона.

b = 9/x = 0 - наклонная асимптота  y = x.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) - нет

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0). Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)

7. Проверка на чётность.

Функция  нечётная: Y(-x) = -Y(x).

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 2 - (х²+9)/х² = (x²-9)/х² = 0.

Корни уравнения.  х = ±√9 = ± 3.

9. Локальные максимумы.

Минимум:  Y(3) = 6.5,  Максимум: Y(-3) = -6.5

10. Интервалы монотонности.  

Возрастает: X∈(-∞;-3)∪(3;+∞)

Убывает: Х∈(-3;0)∪(0;3)

1. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) = 2/x - 2*(x²-9)/x³ = 18/x³ = 0.

Корней нет.

Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;0). Вогнутая - 'ложка'- X∈(0;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.

Красота.

Объяснение:

 Для начала перенесем числа без переменной вправо с изменением знака на противоположный, и раскроем скобку 3(x+1)

Проделав все эти операции получим:

Внимание! Я использую в системе неравенств знак строгого неравенства потому, что у меня нет символа нестрого неравенства! Примите к сведению, чтобы вопросов не возникало!

Давайте 7 поделим на -1, а 6 поделим на 3.

Знак первого неравенства мы поменяем на противоположный, так как мы поделили на 7 на отрицательное число.

Получим:

Изобразим полученные данные на координатной прямой, и совершим величайшее в истории открытие - икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до 6.

ответ: x ∈(-∞;6)

Задача решена.