Из данных уравнений назовите линейные уравнения с двумя переменными.

1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х;4)2х-0,4у+7=6; 5)х=ху+8; 6)у- 4х+2у=7

2. Какие из пары чисел (1; 1); (-2; 11); (3; -15); (-1; 1) являются решениями

уравнения 2

2 − = 0?

3. Найдите какие-нибудь три решения уравнения 3 − 2 = 1.

(Указание к решению: точки определяются методом подбора, а также легко

определяются если число х определить произвольно и подставить это значение в

выражение, чтобы получить у

Пример решения

Найдите какие-нибудь три решения уравнения 5 + 3 = −2

а) Пусть = 0, тогда

5 ∙ 0 + 3 = −2

3 = −2

= −

2

3

б) Пусть = 5, тогда

5 ∙ 5 + 3 = −2

25 + 3 = −2

3 = −2 − 25

3 = −27

= −9

в) Пусть = −1, тогда

5 ∙ (−1) + 3 = −2

−5 + 3 = −2

3 = −2 + 5

3 = 3

= 1

ответ: (0; −

2

3

), (5; 9), (0; 1) )

4. Найдите какие-нибудь два решения уравнения 4 + 6 = −5.

5. Решите уравнение ( + 3)

2 + ( − 2)

2 = 0.

6. Приведите пример уравнения с переменными х и у не имеющего решений.

7. Решите уравнение

2 +

2 + 34 = 6 − 10.

(Указание по решению: перенесите все слагаемые в левую сторону и попробуйте

преобразовать с формул квадрата суммы и разности, для этого число 34 надо

разложить на два слагаемых)
​

Task/24968563
Решите уравнение √(16 - x ) +√(x-14) =x²-30x +227              ответ: x=15 .

обозначаем f(x) = √(16 - x ) +√(x-14)    
D(f) : { 16 -x ≥0 ; x -14 ≤0 .⇔x∈[14;16]           * * * ООФ * * *
Очевидно  f(x) > 0,  т.к. 16 - x и  x -14  нулевое значение принимают при разных значениях переменного x .  * * * система 16 - x =0=x -14 не имеет решения * * * 
f '(x) =( √(16 - x ) +√(x-14) ) ' =  -1/2√(16 - x) +1/2√(x-14) =
1/2( √(16-x) - √(x -14) ) /2√(16 - x) *√(x-14)
f '(x) =0 ⇒√(16-x) - √(x-14)=0  ⇒x=15.
f ' (x)    +               -
14 15 16
f(x)     ↑      max    ↓           

maxf(x)    = f(15) =2 .   (1)
x∈[14;16]

g(x) =x²-30x +227 =(x-15)² +2 ≥2
min g(x) = g(15) =2 .  (2)

Из (1) и (2) следует  x=15 .

Можно и без применения производной :
f²(x) = (√(16 - x ) +√(x-14) )² =2+2√( (16 - x ) *(x-14) ) ≤ 2+(16 - x +x-14)=4 ,
равенство имеет место ,если 16 - x =x-14, т.е. при x=15.
Затем из f²(x) ≤ 4 ⇒ f(x)  ≤ 2 .                || f(x) >0 || 

2-ой Это не мое решение
( более искусственный, использован  частный случай неравенства Коши) * * * √ab ≤(a+b) /2 при a≥0 ,b ≥ 0 * * *
 ОДЗ :x∈[14;16] 
Оценим обе части равенства 
√(16-x ) =√(16-x )*1 ≤  (17-x)/2    (3) ; равенство, если 16 -x=1 ⇒x=15.
√(x-14)= √(x-14)*1   ≤ (x-13)/2     (4) ; равенство, если x-14=1  ⇒x=15. 
Из (3) и (4)  получаем √(16-x)+√(x-14) ≤ 2  * * * (17-x)/2 +(x-14)/2 =2 * * *

правая часть равенства x²-30x +227 =(x-15)² +2 ≥ 2
равенство опять , если x=15.
2 ≥ √(16-x ) +√(x-14) = x²-30x +227 ≥ 2 
равенство имеет место только при x=15.

№1. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а вторая сторона больше, чем сторона квадрата, на 4 см. Найдите сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 40 см².

Решение

сторона квадрата = хсм. Тогда стороны прямоугольника будут

х -2 и х +4

(х-2)(х+4) = 40

х² +2х -8 = 40

х² +2х -48 = 0

По т. Виета корни 6 и -8(не   подходит по условию задачи)

ответ : сторона квадрата = 6см

№2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Один катет = х, другой = х - 4

По т. Пифагора х² + (х -4)² = 400

                            х² + х² -8х +16 = 400

                            2х² -8х -384 = 0

                             х² -4х -192 = 0

                             х = 2 +-√(4 +192) = 2 +-14

х₁ = 16 и х₂ = -12(не подходит по условию задачи)

ответ: катеты 16см и 12 см