В магазине продают воздушные шары: красные,
желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно
составить из двух разных шаров? Сколько наборов
у тебя получилось?
2)В танцевальном кружке занимаются пять
девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и
Иван. Сколько различных танцевальных пар
можно составить?
3)На завтрак Миша может выбрать: плюшку,
бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может:
кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов
завтрака?

Задание № 5:

Стоя неподвижно на ступени эскалатора в метро Ваня поднимается наверх за одну минуту. Взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, он добирается до верха за 40 секунд. За какое время Ваня поднимается наверх, если начинает взбегать по ступеням эскалатора, движущегося вниз? Дайте ответ в секундах.

РЕШЕНИЕ: Пусть длина расстояния L.

Если Ваня взбегает по ступеням неподвижного эскалатора, то скорость движения равна L/40. (Считаем в секундах, в минуте 60 секунд).

Если Ваня стоит неподвижно на ступени эскалатора, то скорость движения равна L/60.

Когда Ваня бежит по ступеням движущегося вниз эскалатора, то скорости Вани и эскалатора вычитаются: L/40-L/60. Тогда время определяется отношением длины к скорости:

ОТВЕТ: 120 секунд

Доказательство можно провести по индукции.
Шаг 1. При n = 1 имеем 1 * 2 * 3 = (1 / 4) * 1 * 2 * 3 * 4 - верно.
Шаг 2. Предположим, что данное равенство верно, при n = k, то есть:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = (1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) *
(k + 3) - верно. 
Шаг 3. Докажем верность равенства для n = k + 1. Имеем:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = 
(1 / 4) * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) * (k + 4). Перенесём последнее слагаемое левой части вправо с обратным знаком, а в правой части раскроем скобки последнего множителя (k + 4) почленно перемножив:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = 
((1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) +
((1 / 4) * 4 * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)). Заметим, что в правой части второе слагаемое равно 0, а оставшееся равенство верно по предположению Шага 2. Доказано.