найдите первообразную в общем виде:
1) f(x)=14x^6+3x^5+15
2) f(x)=9/2√3x+2+2/sin^2 x
3) f(x)=4sin x/4+cos2x

1) Чтобы найти первообразную функции f(x) = 14x^6 + 3x^5 + 15, мы должны найти функцию F(x), которая при дифференцировании будет равна f(x). Первообразная функция - это функция, которая является результатом интегрирования f(x).

Для нахождения первообразной в общем виде, мы должны применить правила интегрирования.

f(x) = 14x^6 + 3x^5 + 15

Интегрируем каждое слагаемое:

∫14x^6 dx = (14/7)x^7 + C1 (где C1 - произвольная постоянная)
∫3x^5 dx = (3/6)x^6 + C2 (где C2 - произвольная постоянная)
∫15 dx = 15x + C3 (где C3 - произвольная постоянная)

Объединяем полученные результаты:

F(x) = (14/7)x^7 + (3/6)x^6 + 15x + C (где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная)

Таким образом, первообразная для функции f(x) = 14x^6 + 3x^5 + 15 будет в общем виде F(x) = (14/7)x^7 + (3/6)x^6 + 15x + C.

2) Для нахождения первообразной функции f(x) = (9/2√3)x+2 + (2/sin^2(x)), мы также будем применять правила интегрирования.

f(x) = (9/2√3)x+2 + (2/sin^2(x))

Интегрируем каждое слагаемое:

∫(9/2√3)x+2 dx = (9/2√3)(1/3)(x+2+3) + C1
∫(2/sin^2(x)) dx = -2cot(x) + C2

Объединяем полученные результаты:

F(x) = (9/2√3)(1/3)(x+2+3) - 2cot(x) + C (где C = C1 + C2 - произвольная постоянная)

Таким образом, первообразная для функции f(x) = (9/2√3)x+2 + (2/sin^2(x)) будет в общем виде F(x) = (9/2√3)(1/3)(x+2+3) - 2cot(x) + C.

3) Для нахождения первообразной функции f(x) = (4sin(x))/4 + cos(2x), сначала упростим выражение.

f(x) = (sin(x) + cos(2x))

Затем мы применяем правила интегрирования.

∫(sin(x) + cos(2x)) dx = -cos(x) + (1/2)sin(2x) + C

Таким образом, первообразная для функции f(x) = (4sin(x))/4 + cos(2x) будет в общем виде F(x) = -cos(x) + (1/2)sin(2x) + C.