1. Чтобы найти точки минимума и максимума функции:
1) Находим производную, приравниваем ее к 0 и находим критические точки
2) Находим точки на концах отрезка
a) у = х³ + 3- х² на отрезке [0; 3]
y'=(х³ + 3- х²)'=3x²-2х=0
х=0 х=2/3
+ - +
02/3
Обе точки входят в интервал [0;3]
y(0)=(0+3-0)=3
y(2/3)=(2/3)³+3-(2/3)²=8/27+3-4/9=2 23/27
y(3)=3³+3-3²=21
Наибольшее значение на отрезке [0;3]: 21
Наименьшее значение на отрезке [0;3]: 2 23/27
b) у = х³ + 6х² - 4 на отрезке [ -1; 3 ]
y'=(х³ + 6х² - 4)'=3x²+12x=3x(x+4)=0
+ - +
-40
-4 ∉ [-1; 3]
y(-1)=-1+6-4=1
y(0)=0+0-4=-4
y(3)=3³+6*3²-4=77
Наибольшее значение на отрезке [-1;3]: 77
Наименьшее значение на отрезке [-1;3]: 1
c) у = 2х³ - 6х² + 3 на отрезке [1; 3]
y'=(2х³ - 6х² + 3)'=6x²-12x=6x(x-2)=0
+ - +
02
0 ∉ [1; 3]
y(1)=2-6+3=-1
y(2)=2*2³-6*2²+3=16-24+3=-5
y(3)=2*3³-6*3²+3=3
Наибольшее значение на отрезке [1;3]: 3
Наименьшее значение на отрезке [1;3]: -5
2.
х м длина комнаты
42/х м - ширина комнаты
Р=2(х+42/х) периметр комнаты
120*2(х+42/х) затраты
Поскольку затраты минимальны, то найдем производную функции:
(240*(х+42/х))'=240(1-42/x²)
Приравняем произаодную к 0 и найдем критический точки:
240(1-42/х²)=0
(х²-42)/х²=0
+ - - +
-√420√42
Значит минимальным значением будет ширина √42 м, то есть при квадратной комнате.
Поскольку нам надо найти целый значение, то макисмально приближенные целые значения 6 м *7 м.
ответ 6 м* 7 м
3.
V=πR²h=64π объем цилиндра
h=64π/(πR²)=64/r²
S=πr²+2πrh=πr²+2πr*64/r²=πr²+128π/r площадь открытого резервуар
Чтобы определить минимум найдем производную:
S'=(πr²+128π/r)'=2πr-128π/r²=2π(r²-64)/r²=2π(r-8)(r+8)/r²
+ - - +
-808
Наименьшее значение при r=8 дм
h=64/8²=1 дм
Построим единичную окружность от начала координат, то есть радиус будет равен единице, и любой радиус-вектор соответственно. Построим треугольник, такой, что его гипотенуза - радиус. один из катетов лежит на оси абсцисс, а другой параллелен оси ординат. Тогда длина противолежащего катета равна координате y точки окружности, находящейся на радиусе, а длина прилежащего - координате x . Угол между гипотенузой и осью абсцисс обозначим за α. Как известно, синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как уже было сказано, противолежащий катет равен y, а прилежащий равен x. Тогда sinα = y/1 (гипотенуза равна единице) = y, а cosα = x/1 = x. чтд
Очевидно, что если радиус - любое число, кроме единицы - равенства не будет.
Другой менее правильный. Известная формула расстояния между двумя точками:
d = 
где x1, y1 - соответствующие координаты первой точки, x2,y2 - координаты второй точки.
На самом деле, это всего лишь теорема Пифагора, здесь d - гипотенуза прямоугольного треугольника, а если вычесть из кооординаты начала (x1 или y1) координату конца (x2 или y2), получится длина катета. Квадрат суммы длин катетов равен квадрату длины гипотенузы. Это работает для любых двух точек. Но синус и косинус равны координатам точки только на единичной окружности.
Если одна из точек будет лежать на краю окружности, а вторая будет началом координат, то x2 = y2 = 0, и тогда формула будет иметь другой вид:
d = 
Нетрудно догадаться, что расстояние от центра окружности до ее края называется радиусом. В данном случае радиус равен 1, поэтому:
1 =
Это уравнение можно возвести в квадрат, так как обе его части неотрицательны:
1 = 
Здесь, очевидно, спряталось основное тригонометрическое тождество. 1 = 
