1 Найдите значение многочлена 3,5x3 — 6,4х при х = -3.

2 Найдите сумму многочленов 6x2 — 2х + 3 и -4x2 + 5x — 5.

3 Представьте в виде многочлена: а) -6а3 (а2 — 2а + 4);

б) (3 — х)(у + 2x);

в) (2с — 5)2.

4 У выражение: а) 5а(а — b) + b(7а — 3b);

б) (с — 4)2 — 4c(с — 3).

5 Представьте в виде квадрата двучлена выражение 64 + 48x + 9x2.

6 Решите уравнение: а) x2 + 3 = х(4 + x);

б) х — (2х + 6) = 2(4x — 8).

7 Решите задачу: «Имеются прямоугольник и квадрат. Одна из сторон прямоугольника равна стороне квадрата, а другая на 5 см меньше её. Известно, что площадь прямоугольника на 15 см2 меньше площади квадрата. Чему равны стороны прямоугольника?»

8 Докажите, что (а + b)2 — (а — b)2 = 8аb.

Составим и решим уравнение.
-7x - 4 * (0,7 - 2x) + 6 = 3 * (x - 0,8) + 2,6;
-7х - 2,8 + 8х + 6 = 3х - 2,4 + 2,6;
-7х + 8х - 3х = 2,6 - 2,4 + 2,8 - 6;
-2х = -3;
х = -3 / -2;
х = 3/2 = 1,5;
ответ: 1,5.
Для того, чтобы решить данное уравнение мы раскрыли скобки. При раскрытии скобок, множитель перед скобками умножается на каждый член в скобках. После этого, мы переносим известные слагаемые в право, а неизвестные влево. В полученном уравнении неизвестное число является множителем. Чтобы найти его значение мы произведение делим на известный множитель.

Условие

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x)n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

Пусть a > 1. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)a – ax – 1, определенную при x > –1. Ее производная f'(x) = a(1 + x)a–1 – a = a((1 + x)a–1 – 1) положительна при x > 0 и отрицательна при –1 < x < 0. Следовательно, f(x) ≥ f(0) = 0 на всей области определения.

Замечания

1. Неравенство превращается в равенство не только при n = 1, но и при x = 0 . В остальных случаях оно строгое.

2. При x ≥ 0 (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома: (1 + x)n = 1 + nx + ... .

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.