Разложим знаменатель на множители:
Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.
Интеграл примет вид:
Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:
Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:
Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:
Выразим из второго уравнения А:
Подставляем в первое и находим В:
Находим А:
Сумма принимает вид:
Значит, интеграл примет вид:
Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:
Интегрируем:
Упрощаем:
Применим свойство логарифмов:
С начало просто заменим для простоты
sinx=x
cosx=y
x^y=y^x
не трудно догодатся что при тривиальных x=y и выполняеться наше соотношение приравняем тогда
sinx=cosx
tgx=1
x=pi/4 ;
Подставим и проверим
sin(pi/4)^(cos(pi/4))=cos(pi/4)^(sin(pi/4))
V2/2 ^(V2/2)=V2/2^(V2/2) что верно!
значит решение x=pi/4
2)а теперь посмотрим на другие решение
заменим
cosx^sinx =c
прологарифмируем
и cosx=x
sinx=y
log(y)x^y= x
y*log(y)x=x
log(y)x=x/y
y^(x/y)=x
то есть все рациональные корни имеют вид x=((n+1)/n)^n это рациональные! искать не надо!
