Зверніть увагу, що рівняння у² + |x| = 36 можна розбити на два випадки:
x ≥ 0: у² + x = 36
x < 0: у² - x = 36
Перетворимо обидва випадки до вигляду у = f(x):
x ≥ 0: у = √(36 - x²)
x < 0: у = -√(36 - x²)
Точки перетину графіка цієї функції з віссю OX (ось абсцис) мають абсциси, що дорівнюють значенням x, для яких y = 0.
x ≥ 0: √(36 - x²) = 0 => 36 - x² = 0 => x = ±6
x < 0: -√(36 - x²) = 0 => 36 - x² = 0 => x = ±6
Отже, точки перетину з осями координат мають координати (-6, 0) та (6, 0).
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-π/4 ; π/4], нужно найти ее максимальное значение на этом отрезке. Для этого найдем точки, где производная функции равна нулю или не существует:
f'(x) = 20(sec^2 x - 1) - 20
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
20(sec^2 x - 1) - 20 = 0
sec^2 x = 2
cos^2 x = 1/2
cos x = ±√(1/2) = ±1/√2
x1 = π/4, x2 = -π/4
Точки экстремума функции f(x) находятся в точках x1 = π/4 и x2 = -π/4. Теперь нужно сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка:
f(-π/4) = 20tg(-π/4) - 20(-π/4) + 5π + 8 ≈ 60.98
f(π/4) = 20tg(π/4) - 20(π/4) + 5π + 8 ≈ 66.17
f(x1) = 20tg(π/4) - 20(π/4) + 5π + 8 ≈ 66.17
f(x2) = 20tg(-π/4) - 20(-π/4) + 5π + 8 ≈ 60.98
Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-π/4 ; π/4] равно приблизительно 66.17 и достигается в точке x1 = π/4.
Объяснение:
