Каждая сторона вписанного треугольника соединяет середины сторон исходного и поэтому является средней линией. Средняя линия треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.
Коэффициент k подобия этих треугольников ½
.Отсюда каждая сторона первого вписанного треугольника равна 8·½ =4 см
.Пусть периметр исходного треугольника будет Р₁,
периметр первого вписанного треугольника- р₂
Тогда Р₁=8·24 см
р₂=24·½ =12 cм
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия.
р₃=12·½=6 см
р₄=6·½=3 см
р₅=3·½=1,5 см
р₆=1,5·½=0,75 см
р₇=0,75·½=0,375 см
р₈=0,375·½=0,1875 см
Как Вы, наверное, обратили внимание, последовательность периметров сторон вписанных треугольников - геометрическая прогрессия, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ½.
Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой
bn = b₁ · qⁿ⁻¹
b₈=24·(½)⁷=0,1875 см
Для острых углов известно соотношение sinα<α<tgα . α=1/(n+6) стремится к 0 при n->∞.
tg1/(n+6)>1/(n+6).
Исходный ряд сравним с рядом ,общий член которого 1/(n+6).Этот ряд расходящийся, так как его можно сравнить с расходящимся обобщённо-гармоническим рядом ∑1/n : lim (1/n)/(1/n+6)=1≠0 при n->∞ ⇒ оба ряда ∑1/n и ∑1/(n+6) расходятся.
Ряд ∑1/(n+6) является минорантным, а ряд ∑tg1/(n+6) мажорантным. Из расходимости минорантного ряда следует расходимость мажорантного. ⇒∑tg1/(n+6) - расходящийся ряд.
