Даны вершины A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3), D(1; 4; 2).
Вычислить:
1) длину ребра АВ.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора АВ по точкам A(1; -3; 1), B(4; 3; 9).
АВ = (4-1; 3-(-3); 9-1) = (3; 6; 8).
Длина BC = √(3² + 6² + 8²) = √(9 + 36 + 64) = √109.
2) уравнение прямой АВ.
Для уравнения прямой АВ используем точку А(1; -3; 1) и направляющий вектор АВ = (3; 6; 8).
Получаем уравнение АВ: (x - 1)/3 = (y + 3)/6 = (z – 1)/8.
3) уравнение плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3).
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ найден: АB = (3; 6; 8).
АC = (2-1; -6-(-3); -3-1) = (1; -3; -4).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC.
i j k| i j
3 6 8| 3 6
1 -3 -4| 1 -3 = -24i + 8j - 9k + 12j + 24i - 6k =
= 0i + 20j - 15k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (0; 20; -15).
Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости, проходящей через точку А:
(x − 1)⋅0 + (y + 3)⋅20 + (z−1)⋅(-15) = 0.
20y - 15z + 75 = 0.
Уравнение АBC: 20y - 15z + 75 = 0.
4) угол наклона прямой AD к плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), D(1; 4; 2).
Находим вектор АD: s = (1-1; 4-(-3); 2-1) = (0; 7; 1).
Уравнение АD: (x - 1)/0 = (y + 3)/7 = (z – 1)/1.
Нормальный вектор плоскости АВС q = (0; 20; -15).
Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =
= | 0 · 0 + 7 · 20 + 1 · (-15) |/(√(0² + 7² + 1²) · √(0² + 20² + (-15)²)) =
= | 0 + 140 - 15 |/(√(0 + 49 + 1) · √(0 + 400 + 225)) =
= 125/(√50 · √625) =
= 125/(5√2 ·25) = 125/(125√2) = √2/2 ≈ 0.7071.
φ = arcsin(√2/2) = 45°.
5) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС (оно найдено выше и равно (0; 20; -15)).
Получаем S = (1/2)* √(02 + 202 + (-15)2) = (1/2)* √(0 + 400 + 225) =
= (1/2)√625 = (1/2)*25 = 12,5 кв. ед.
6) объём тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
V = (1/6)(ABxAC)*AD.
ABxAC = 0 20 -15
AD = 0 7 1
0 + 140 - 15 = 125.
V = (1/6)*125 = 125/6 ≈ 20,333 куб. ед.
7) уравнение прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(1; 4; 2).
Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (0; 20; -15).
Уравнение DE: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
8) длину высоты DE.
Длина высоты – это расстояние от точки D до плоскости АВС.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |0·1 + 20·4 + (-15)·2 + 75|/√(0² + 20² + (-15)²) =
|0 + 80 - 30 + 75|/√(0 + 400 + 225) =
= 125/√625 = 125/25 = 5.
9) проекцию Е точки D на плоскость АВС.
Для этого надо найти точку пересечения перпендикуляра из точки D к плоскости АВС с самой плоскостью (её уравнение 20y - 15z + 75 = 0).
Уравнение DE тоже найдено: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
Координаты, которые имеет точка Е пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
{0x + 20y -15 z + 75 = 0.
Уравнение прямой представим в параметрическом виде.
((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15) = t,
x – 1 = 0*t = 0, x = 1,
y – 4 = 20t, y = 20t + 4,
z – 2 = -15t, z = -15t + 2.
Подставим переменные в уравнение плоскости 0x+20y-15z+75=0.
0*1 + 20*(20t + 4) – 15*(-15t + 2) + 75 = 0,
0 + 400t + 80 + 225t – 30 + 75 = 0,
625t = -125,
t = -125/625 = -1/5.
Подставим значение t в выражения переменных.
x = 1,
y = 20*(-1/5) + 4 = 0,
z = -15*(-1/5) + 2 = 5.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки D и плоскости АВС, она же является проекцией точки D на заданную плоскость.
ответ: Е(1; 0; 5).
