Данное двойное неравенство равносильно системе двух квадратных неравенств:
Первое неравенство 
.
Заметим, что в левой части скрывается квадрат разности (формула 
): 
.
Неравенство принимает следующий вид: 
.
Так как квадрат числа всегда неотрицательный, то нам не подходит всего лишь один случай: 
и 
.
Значит, первой неравенство эквивалентно тому, что 
.
Второе неравенство 
.
Вс уравнение 
имеет по теореме Виета (утверждающей, что 
и 
) корни 
и 
.
Из этого следует разложение левой части на множители: 
.
Метод интервалов подсказывает решение ![x \in [ 1; 3 ]](/tpl/images/1227/3957/60bcc.png)
.
+ + + - - - + + +
_________![[ \; 1 \; ]](/tpl/images/1227/3957/d73a9.png)
_________![[ \; 3 \; ]](/tpl/images/1227/3957/abab5.png)
_________
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Значит, второе неравенство равносильно тому, что 
.
Имеем значительно более простую систему неравенств:
Вполне понятно, что ее решением является 
(как пересечения двух промежутков).
Или же 
.
Задача решена!
ответ:
1) M = {11k + 7, где к = 1,2,3,4,5,6,7,8} = {11,18,25,32,39,46,53,60,67,74,81,88}
2) М = n^2, n = 1,2,3,...,9. M = {квадраты всех чисел от 1 до 9}
3) (x,y,z), где x - 1-я монета, y - 2-я монета, z - 3-я монета: x+y+z < 6 => среди x, y и z не может быть ни одной 5-ки, а также больше двух двоек.
a) Ноль двоек: (1,1,1) b) Одна двойка: (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1) c) Две двойки: (1,2,2),(2,1,2),(2,2,1). Итак: (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)
4) (x,y), где x - число очков выпавших на 1-й кости, y - число очков выпавших на 2-й кости: |x-y| < 2 => (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) - все пары (x,y) такие, что |x-y| < 2. Всего таких пар n = 16.
5) Двухзначные числа: 10,11,12,13,...,99. Всего таких чисел N = 99-10 = 89. Двухзначные числа, которые делятся на 13: m = 13k, k = 1,2,3,4,5,6,7. Всего таких чисел n = 7. Отсюда, искомая вероятность p = 7/89
