6.Знайдіть третій член і суму восьми перших членів геометричної прогресії＝2. (bn), b1 ＝–1, q

Значение в ячейке таблицы, находящейся в столбце j и строке i, можно рассчитать по формуле  (при движении в строке (меняя номер столбца) увеличиваем значение на 1, и изначально значение должно быть равно 1; при движении в столбце (изменяя номер строки) увеличиваем на 7, при этом изначально эта часть должна равняться 0)

Искомую сумму можно записать так (номера под индексами указывают только на порядок, а не на значение):
 

При этом все i изменяются от 1 до 7, но не равны друг другу. То же касается и j. То есть, что бы мы не выбирали, цифры в сумме будут просто меняться местами. А от перестановки мест слагаемых значение суммы не изменяется. Поэтому сумма постоянна.

1) Число 10a+b. Сумма цифр = a + b = (10a + b) - 9a
2) Остаток от деления суммы цифр на 9 такой же, что и от деления самого числа на 9.
3) Если после умножения на число сумма цифр не поменялась, значит, не поменялся и остаток от деления на 9.
4) Следовательно, можно найти сначала найти число R (0 <= R < 9) - остаток от деления исходного числа на 9, такое, что при умножении любого однозначного числа на R получалось бы число, дающее в остатке при делении на 9 опять число R.
5) Существует только одно такое число R - это R = 0
6) Исходное число должно делиться на 9.
7) Все кандидаты на роль исходного числа: 54, 63, 72, 81, 90
8) Не подходят числа: 54 (54*7 - сумма цифр 18); 63 (63*3 - сумма цифр 18); 72 (72*4 - сумма цифр 18); 81 (81*6 - сумма цифр 18).
9) Легко проверить, что 90 подходит.

ответ. 90.