с решением контрольной

Тема: «Тригонометричні рівняння»

І-В

№ 1. Обчисліть:

1) arcsin =

2) arctg (-) =

3) arcctg (-) =

4) arccos (- ) =

5) arcctg 0 =

6) arcsin (-) =

7) arcsin + arcctg (-) =

8) arccos (- ) · arcsin 1 =

№ 2. Розв’яжіть рівняння:

а) = а) = 0

б) = - б) ctg = -

в) = 1 в) = -

г) ctg = 0 г) tg + = 0

д) = 1 д) =

е) = - е) ctg =

ж) tg ( − ) = ж) = 1

Додаткове завдання:

а) 2sin 2 - 3sin + 1 = 0 а) 2cos 2 - 5cos + 2 = 0

Пусть a = 0.
Тогда 



Графиком первой функции является парабола. Вторая функция будет являться чётной:
y(-x) = 2sin(cos(-x) = 2sincosx, значит, y(x) = y(-x). 
Найдём область значений второй функции:
Пусть y = f(x) = 2sin(g(x))
E(g) = [-1; 1]
Тогда E(x) = [2sin(-1); 2sin1]
Чтобы парабола и данная периодическая функция пересекались в одной точке, вершина параболы должна лежать на графике периодической функции. Это будет только тогда, когда значение a будет равно наибольшему значению из области значений периодической функции, т.е.  a = 2sin1.
ответ: при a = 2sin1; 0.  

Можно доказать совсем просто. Разность степеней всегда кратна разности оснований. Но этот факт нужно доказывать отдельно. А это доступно только старшим школьникам или студентам.
7^191-1^191=(7-1)*(7^190++1)
Так как 7-1=6, то оно кратно 6.
Но можно доказать более длинным методом, зато более понятным для младших школьников.
7^191-1=7*7^190-1=7*(7^2)^95-1=
=7*49^95-1=7*(48+1)^95-1
В разложении (48+1)^95 все члены будут делиться на 48=6*8, кроме последнего 1.
7*(6*8*k+1)-1=6*56k+7-1=6(56k+1)
Ясно, что оно делится на 6.