Tg^2x+ctg^2x , если ctg= 1/3

9х⁴   -  85х²  + 36  = 0
замена :  х²  = n
9n²  - 85n  + 36  = 0
D = (-85)²  - 4*9*36 = 7225 - 1296 = 5929 = 77²
D>0
n₁  = ( - ( - 85)   - 77)/(2*9) =  (85 - 77)/18 = 8/18  = 4/9
n₂  = ( - ( - 85) + 77)/(2*9) = (85 + 77)/18 = 162/18 = 9

x²  =  4/9
x²  -  4/9   = 0
x²  - (2/3)²  = 0
(x  - 2/3)(x  + 2/3) = 0
x   -  2/3  = 0
x₁  =  2/3
x   +  2/3  = 0
x₂  =  - 2/3

x²  =  9
x  -  9  = 0
x²   -  3²  = 0
(x - 3)(x + 3) = 0
x -  3 =0
x₁  =  3
x  + 3  = 0
x₂  =  - 3

ответ :  х₁ =  - 3 ;  х₂  =  - 2/3  ;   х₃ =  2/3 ;   х₄ =  3 .

ищем критические точки:


смотрим, как ведет себя производная функции при переходе через эти точки:


производная в точке 0 меняет знак с + на - , что означает, что точка  являеться максимумом функции ,

производная в точке 1 меняет знак с - на + , что означает, что точка  являеться минимумом функции 

----------------
тогда промежутки монотонности:
ф-ия монотонно растет на промежутке 

ф-ия монотонно убывает на промежутке 
----------------
ф-ия пересекает ось ОХ в точкаx 


ф-ия  пересекает ось ОУ в точке

на основании этих данных и строиться схематический график