1)На собрании хоккейной команды присутствует 25 игроков, среди которых 3 мастера спорта. Выбирают стартовую пятерку, в которую обязательно должны войти все мастера спорта. Сколько существует выбора?

2)Учащиеся школы изучают 10 предметов. Сколькими можно составить расписание уроков на один день, чтобы в день было 5 различных предметов?

3)Сколько различных шестизначных номеров можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр)?

4)Среди 12 стоящих на полке книг 4 книги собрания сочинений Гоголя.

a)Сколькими можно расставить эти книги на полке?

б)Сколькими можно расставить книги на полке так, чтобы тома собрания сочинений Гоголя стояли рядом (необязательно подряд)?

в)Сколькими можно расставить книги на полке так, чтобы тома собрания сочинений Гоголя стояли в правильном порядке?

5)В группе 10 девушек и 13 юношей. Сколькими можно выбрать

а)либо трех юношей, либо четырех девушек;

б)трех юношей и четырех девушек;

в)7 человек, среди которых трое одного пола, а четверо другого?

1)

2 sin²x - sin x = 0

sin x (2sin x - 1) = 0

a) sin x = 0    

x₁ = π/2 + πn    (n ∈ Z)                         x₁ = π/2;  3π/2;  5π/2; ...

b) 2sin x - 1 = 0    sin x = 0.5

x₂ = π/6 + 2 πk    (k ∈ Z)                      x₂ = π/6;  13π/6; 25π/6; ...

x₃ = 5π/6 + 2 πm    (m ∈ Z)                   x₃ = 5π/6;   17π/6; ...

   В промежутке  {0; 5π/6] уравнение имеет три корня: π/6;  π/2:  5π/6

Можно написать что промежуток этот {0; π]

2)

2 cos²x - √3 cos x = 0

cos x · (2cos x - √3) = 0

a) cos x = 0

x₁ = πn   (n ∈ Z)                                x₁ = 0;  π;   2π; ...

2cos x - √3 = 0

cos x = 0.5 √3

x₂ = π/6 + 2πk     (k ∈ Z)                 x₂ = π/6; 13π/6; 25π/6; ...

x₃ = - π/6 + 2πm     (m ∈ Z)             x₃ = -π/6; 11π/6; 23π/6; ...

В промежутке  {0; π] уравнение имеет три корня: 0;  π/6;  π

4

Объяснение:

а)ОДЗ:

{ tan(x) ≥0 (Т.к. подкоренное выражение всегда неотрицательно)

{ cos(x) ≠0 (Т.к. тангенс это синус, делённый на косинус,а на ноль делить нельзя)

Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю

1) 2sin²(x)-3cos(x) = 0

Из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим синус

sin²(x) = 1-cos²(x)

2(1-cos²(x))-3cos(x) = 0

2-2cos²(x)-3cos(x) = 0|:(-1)

2cos²(x)+3cos(x)-2 = 0

Пусть cos(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда

2t²+3t-2 = 0

D = 3²-4*2*(-2) = 9+16 = 25 = 5²

Второй корень меньше -1,поэтому мы его рассматривать не будем

Вернёмся к замене

Если t = 0,5, тогда

cos(x) = 0,5

Это равенство распадается на совокупность двух:

[ x = arccos(0,5) + 2пn, n∈Z

[ x = -arccos(0,5) + 2пn, n∈Z

[ x = п/3 + 2пn, n∈Z

[ x = -п/3 + 2пn, n∈Z

Второй корень не подходит по ОДЗ,так что единственное решение этого равенства x = п/3 + 2пn, n∈Z

2)

Дробь равна нулю,когда числитель равен нулю,а знаменатель не равен нулю

{ sin(x) = 0

{ cos(x) ≠ 0

{ х = пn, n∈Z

{ x ≠ п/2 + пn, n∈Z

Пересечений с ОДЗ нет,поэтому наше решение входит в ответ

б) Находим количество решений на отрезке [0;2П] ( см. вложение)

По рисунку мы видим,что у уравнения на данном отрезке 4 корня(0,п/3,п,2п)