ответ 1:
Функция возрастает на интервале (-1; +∞)
Убывает на (-∞; -1)
Объяснение 1:
через производную:
f'(x)=4x³+4
приравниваем производную к нулю и ищем корни
4x³+4=0
4x³=-4
x³=-1
x=-1 - корень
отмечаем полученные корни на числовой прямой:
[-1]>ₓ
получаются 2 интервала (слева и справа от -1). Берем пробную точку, например 0 (она находится правее чем -1), подставляем в нашу производную f'(x)=4x³+4
f'(0)=4*0³+4=4
получили положительное число (то есть со знаком +), значит правый промежуток с плюсом.
Теперь берем любую точку левее -1, например -2
f'(-2)=4*(-2)³+4=4*(-8)+4=-28 - отрицательное число, значит левый промежуток с минусом, то есть
[-1]>ₓ
Там где производная отрицательна - функция убывает.
Где производная положительна - функция возрастает.
x=-1 - точка минимума (так как до нее функция убывала, а после нее начала возрастать)
///
ответ 2:
Функция f(x) убывает на всё промежутке х ∈ (-∞; +∞)
Объяснение 2:
f(x) = 8 - 4x - x³
Функция определена при х ∈ (-∞; +∞)
Пусть х₂ > x₁
f(x₁) = 8 - 4x₁ - x₁³
f(x₂) = 8 - 4x₂ - x₂³
f(x₂) - f(x₁) = 8 - 4x₂ - x₂³ - (8 - 4x₁ - x₁³) = -4(x₂ - x₁) - (x₂³ - x₁³)
Поскольку х₂ > x₁ , то (x₂ - x₁) > 0 и (x₂³ - x₁³) > 0, тогда
f(x₂) - f(x₁) < 0 , то есть функция f(x) убывает
на всём промежутке х ∈ (-∞; +∞)
Уравнение параболы y=ax^2+bx+c
Так как парабола проходит через точку А(8;-2), то
-2=64а+8b+c (1)
Координаты вершины параболы (2;4), через неё парабола тоже, логично, проходит, поэтому
4=4а+2b+c (2)
А также абсцисса вершины параболы определяется по формуле
x=-b/2a => 2=-b/2a, 4a=-b,
4a+b=0 (3)
Работаем с выражениями (1), (2) и (3):
(1-2) -6=60а+6b; 36a+6*(4a+b)=-6;
Т.к. 4a-b=0, то 36a=-6; a=-1/6
(3) 4a=-b; 2/3=b
Подставляем найденные значения а и b в выражение (2)
4=-4/6 + 4/6 + с, с=4
Поэтому искомое уравнение параболы
ответ: - 1/6 x^2 + 2/3 x + 4
