Найдите точки экстремума функции y=x3+1,5x2-6x+1, укажите промежутки возрастания и убывания и вычислите наибольшее значение функции на отрезке -2;4.​

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Найдем производную функции y=x^3+1.5x^2-6x+1:

y' = 3x^2 + 3x - 6

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 + 3x - 6 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
= (3)^2 - 4(3)(-6)
= 9 + 72
= 81

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a)
= (-3 + √81) / (2*3)
= (-3 + 9) / 6
= 6/6
= 1

x2 = (-b - √D) / (2a)
= (-3 - √81) / (2*3)
= (-3 - 9) / 6
= -12/6
= -2

Теперь найдем значения функции в найденных точках экстремума:

y1 = 1^3 + 1.5(1)^2 - 6(1) + 1
= 1 + 1.5 - 6 + 1
= -2.5

y2 = (-2)^3 + 1.5(-2)^2 - 6(-2) + 1
= -8 + 6 + 12 + 1
= 11

Таким образом, точки экстремума функции y=x^3+1.5x^2-6x+1 - это (1, -2.5) и (-2, 11).

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знаки производной в этих промежутках.
Найдем значения производной в точках экстремума и в произвольной точке внутри этих промежутков:

y'(-3) = 3(-3)^2 + 3(-3) - 6
= 27 - 9 - 6
= 12

y'(0) = 3(0)^2 + 3(0) - 6
= 0 - 0 - 6
= -6

y'(2) = 3(2)^2 + 3(2) - 6
= 12 + 6 - 6
= 12

Мы видим, что значения производной в точках экстремума разного знака, а значит, функция возрастает на интервале между этими точками, т.е. на отрезке (-2, 1) и убывает на остальных промежутках.

Наконец, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке [-2, 4], необходимо сравнить значения функции в концах отрезка и в точках экстремума:

y(-2) = (-2)^3 + 1.5(-2)^2 - 6(-2) + 1
= -8 + 6 + 12 + 1
= 11

y(4) = 4^3 + 1.5(4)^2 - 6(4) + 1
= 64 + 24 - 24 + 1
= 65

Наибольшее значение функции на отрезке [-2, 4] равно 65.