решить исследовательскую работу надо:(

1. log₃(x+1) + log₃ (x+3) = 1    одз х> -1  и x> -3      log₃(x+1)*(x+3) =  log₃ 3      log₃(x²+х+3x+3) =  log₃3     log₃(x²+4x+3) =  log₃3     (x²+4x+3) =3     x²+4x=0     х(х+4)=0     х₁=0      х₂=-4 не подходит под одз 2. 2log₂x - log₂ (3x-4) =1    одз х> 0  x> 4/3     log₂x² - log₂(3x-4) =log₂2         log₂x²/ (3x-4) =log₂2     x²/  (3x-4) =2   x²= 2*(3x-4)    x²-6x +8=0   d=36 -32=4   x₁=(6+2)/2=4     x₂=(6-2)/2=2 1/2log₅  (x-4) + 1/2 log  ₅(2x-1) = log₅   3    одз    х> 4    x> 1/21/2(log₅  (x-4)*(2x-1)) = log₅  3  log₅  (x-4)*(2x-1) =2 log₅  3  log₅  (2x²-8x-x+4) = log₅  9   2x²-9x+4=9   2x²-9x-5=0 d=81+40=121 x₁=(9+11)/4=5 x₂=(9-11)/4= -1/2  не подходит под одз

У = x² +9x = (x+9/2) -81/4 .
График этой функции парабола , вершина в точке B( -9/2 ; -81/4) ;.ветви направлены вверх. Точки A(-9 ;0) и  C(0 ;0)  характерные точки графики функции (пересечения  с осью абсцисс:  y=0⇒ x₁= - 9  и  x₂= 0  корни x² +9x=0 ).
График функции у = - |x² +9x|    || y ≤0  ||  получается  из графики функции у = x² +9x . 
Участок  A_B_C  (где у <0)  остается без изменения , остальная   часть   графики, где у >0  (левее от точки A и правее   от точки С )_симметрично относительно оси абсцисс (ось ox).

Прямая  y =a   с графиком функции  у = - |x² +9x|  имеет 2 , 3  или 4 общие точки , в зависимости от значения постоянной a .
a =0 :
две   ( это точки  A и C).

a = - 81/4 :
три _( прямая  проходит через  B( -9/2 ; -.81/4) ) .

 - 81/4 <a < 0  :
четыре .

ответ:  a∈ [ - 81/4 ; 0 ) .