Найти общий вид первообразных ​

Решать такое надо графически.

Построим графики уравнений f(x,y)=0 (к 1-му неравенству); g(x,y)=0 (ко 2-му неравенству)

В 1-м неравенстве видно, что это эллипс.

Приведу его к каноническому виду:

Это значит, что центр эллипса в точке (2;-3), по x он растянется максимум на 4 единицы, по у на 2.

Во 2-м видно, что будут 2 прямые.

Построили графики на одной системе координат.

1-е неравенство говорит нам, что это геометрическое место точек, которые находятся ВНУТРИ эллипса, причем не захватывая его контур.

Теперь ко 2-му неравенству.

Прямые пересекаются (у них разные угловые коэффициенты) и образуют перекрестие, деля плоскость на 4 части. Нам будут нужны 2 части, это верхняя часть и нижняя, можно это проверить, подставив точку (0;0) во 2-е неравенство и (0;-5).

Получаются два сектора, причем прямые в них включатся в зону, так как 2-е неравенство системы нестрогое, а вот контуры эллипса как бы выколоты. Штриховкой я отметил нужную область.

(k+1)(k-1)²  + (k+1)(k-1) = (k+1)(k-1)(k-1) + (k+1)(k-1) =
свернем разность квадратов:
= (k² - 1²) * (k-1)  + (k² - 1² ) * 1  =
вынесем общий множитель:
= (k² - 1) * (k-1+1) =  (k² -1) * k =
раскроем скобки:
= k² * k  -  1 * k  =
= k³  - k 

Можно решить по-другому:
(k+1)(k-1)² + (k+1)(k-1) =
раскроем  квадрат разности:
= (k+1)(k² -2*1*k  + 1² ) + (k+1)(k-1) =
= (k+1)(k² - 2k +1)  + (k+1)(k-1) =
вынесем  общий множитель:
= (k+1)(k² -2k +1 + k-1) =
= (k+1)(k² -k) =
раскроем скобки:
= k * k² - k*k  +1*k² - 1*k =
= k³ - k² + k²  - k =
приведем подобные слагаемые и получим ответ:
= k³  - k