Простейшие тригонометрические уравнения.
1. sinx = a, |a| 1
x = (–1 ) k arcsin a + k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1sinx = –1sin x = 0sin x =x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k | a| >1 корней нет2. cos x = a , |a| 1
x = ± arccos a + 2 k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1cos x = –1cos x = 0cos x = 1x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k |a| >1 корней нет3. tg x = a , a x = ± arctg a + k , k
Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.Уравнения, сводящиеся к квадратным.Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0, a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.Уравнения, решаемые разложением на множители.Нестандартные уравнения.a) x² + 3x - 130 = 0
D = 3² - 4 * 1 * (-130) = 9 + 520 = 529
x₁ = -3 + 23/2 = 20/2 = 10
x₂ = -3 - 23/2 = -26/2 = -13
б) x² - 2x + 10 = 0
D = (-2)² - 4 * 1 * 10 = 4 - 40 = -36
Дискриминант равен отрицательному числу. Уравнение не имеет решений.
в) x²- 6x + 34 = 0
D = (-6)² - 4 * 1 * 34 = 36 - 136 = -100
Дискриминант равен отрицательному числу. Уравнение не имеет решений.
г) 4x² - 4x = 3
4x² - 4x - 3 = 0
D = (-4)² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64
x₁ = 4 - 8/2 = -4/2 = -2
x₂ = 4 + 8/2 = 12/2 = 6
д) x²/2 - x/3 + 7*3/8 = 8
x²/2 - x/3 + 59/8 = 8 /*24
12x² - 8x + 177 = 192
12x² - 8x + 177 - 192 = 0
12x² - 8x - 15 = 0
D = (-8)² - 4 * 12 * (-15) = 64 + 720 = 784
x₁ = 8 - 24/24 = 16/24 = 2/3
x₂ = 8 + 24/24 = 32/24 = 4/3 = 1*1/3
е) x²/3 - 7x/18 + 4 = 5*1/9
x²/3 - 7x/18 + 4 = 46/9 / *18
6x² - 7x + 72 = 92
6x² - 7x + 72 - 92 = 0
6x² - 7x - 20 = 0
D = (-7)² - 4 * 6 * (-20) = 49 + 480 = 529
x₁ = 7 - 23/12 = -16/12 = -4/3 = -1*1/3
x₂ = 7 + 23/12 = 30/12 = 5/2 = 2*1/2
