4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a)=sin3a
Рассмотрим левую часть: 4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a) = 4sina*(sin(п/3)*cos(a) + cos(п/3)*sin(a)) * (sin(п/3)*cos(a) - cos(п/3)*sin(a)) = (в двух последних скобках - это произведение суммы и разности двух чисел: (a-b)(a+b)=a²-b², воспользуемся этой формулой и раскроем скобки) = 4sina*( sin² (п/3)*cos² (a) - cos² (п/3) * sin² (a) ) =
4sina*( 1/4*cos² (a) – 3/4 * sin² (a) ) = (сокращаем на 4, и воспользуемся тем что соs² = 1-sin² ) = sina*( 1 – sin² (a) - 3*sin² (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Рассмотрим правую часть: sin3a= sina – 4*sin³ (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Следовательно, выражения в левой и правой частях тождественно равны.
sin (5πx/9) = sin (πx/9) + sin (2πx/9)
sin (5πx/9) - sin (πx/9) = sin (2πx/9)
По формуле разности синусов:
2sin(
)cos(
) - sin (2πx/9) = 0;
2 sin(2πx/9)cos(πx/3) - sin(2πx/9)=0;
sin (2πx/9) (2cos(πx/3)-1)=0;
sin (2πx/9)=0 или 2cos (πx/3)=1; cos (πx/3)=1/2
2πx/9=πn, n∈Z или πx/3=π/3+2πn, n∈Z или πx/3=-π/3+2πn, n∈Z;
Сокращаем на π:
2x/9=n, n∈Z или x/3=1/3+2n, n∈Z или x/3=-1/3+2n, n∈Z;
x=9n/2 или x=6n+1 или x=6n-1
Теперь отбираем корни уравнения, принадлежащие промежутку (4;8)
4<(9/2)n<8; 8/9<n<16/9; n=1, x=4,5
4<6n+1<8; 3<6n<7; 1/2<n<7/6; n=1; x=6+1=7;
4<6n-1<8; 5<6n<9; 5/6<n<3/2; n=1; x=6-1=5
ответ: x={4,5;5;7}
