Объяснение:
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения функции
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет.
Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.
Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
Область определения функции, в которой есть дробь
Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.
Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби
Vпешех * t = 48 Vвелосип * (t-8) = 48
Vп = 48/t Vв = 48/(t-8)
3*48/t - путь, который пешеход
3*48/(t-8) - путь, который проехал велосипедист
3*48/t + 3*48/(t-8) = 48
144/t + 144/(t-8) - 48 = 0
144(t-8) + 144*t - 48(t²-8t) = 0
t²-8t
144t - 1152 + 144t - 48t² + 384t = 0
-48t² + 672t - 1152 = 0
t² - 14t + 24 = 0
D = b²-4ac = (-14)² - 4*1*24 = 196 - 96 = 100
t = (-b+√D)/2a = (14+10) / 2 = 12 часов (за 12 часов пешеход пройдёт 48 км)
t-8 = 12-8 = 4 часа (за 4 часа велосипедист проедет 48 км)
Vпеш = 48/t = 48/12 = 4 км/ч - скорость пешехода
Vвел = 48/t-8) = 48/4 = 12 км/ч - скорость велосипедиста
