a∉{0;±1;0,25}
Объяснение:
(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0
Чтобы данное уравнение имело не менее трёх корней необходимо чтобы одно из уравнений
1) x² - (3a + 1)x + 2a² + a=0
2) x² + (2a - 1)x - 3a² + a=0
имело не менее одного, а второе не менее двух корней.
D₁=(-(3a + 1))² -4(2a² + a)=9a²+6a+1-8a²-4a=a²+2a+1=(a+1)²
D₂=(2a - 1)² -4(- 3a² + a)=4a² -4a+1+12a²-4a=16a²-8a+1=(4a-1)²
Очевидно,что D₁≥0 и D₂≥0.
1) D₂>0 и D₁=0⇒а=-1
x₁=(3a + 1)/2=-1
x₂,₃=(-(2a - 1)±(4a-1))/2
x₂=(-(2a - 1)+(4a-1))/2=a=-1
x₃=(-(2a - 1)-(4a-1))/2=1-3a=4
2) D₁>0 и D₂=0 ⇒а=0,25
x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2=(1,75±1,25)/2
x₁,₂=(1,75-1,25)/2=0,25
x₁,₂=(1,75+1,25)/2=1,5
x₃=-(2a - 1)/2=0,25
3) D₁>0 и D₂>0
x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2-два разных корня, x₃,₄=(-(2a - 1)±(4a-1))/2-два разных корня.
Теперь же нужно разобрать случай равенства одного из двух корней x₁,₂ с одним из двух корней x₃,₄
1) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2
4a+2=2a
a=1
2) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2
4a+2=-6a+2
a=0
3) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2
2a=2a
∀a
4) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2
2a=-6a+2
a=0,25
В итоге можно сказать, что уравнение имеет не более трёх различных корней. Получается оно имеет ровно три различных корня при выполнении след. условий.
a∉{0;±1;0,25}
Пусть в квадратном уравнении значение a (возле x^2) = 1, тогда b (возле x) = -2 * (a - 1), а c = -2a + 1. Согласно теореме Виетта:
x(1) * x(2) = c/a
x(1) + x(2) = -b/a
Если один из корней уравнения положительный, а другой - отрицательный, то значение c/a отрицательное, так как при умножении положительных чисел на отрицательные произведение также отрицательное (меньше, чем 0). Тогда:
c/a < 0
(-2a+1)/1 < 0
-2a + 1 < 0
-2a < 0 - 1
-2a < -1
a > -1 : (-2)
a > 0,5
ответ: квадратное уравнение будет иметь положительный и отрицательный корни при a > 0,5
Подробнее - на -
Объяснение:
