Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x² в котором равенединице) x² + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, апроизведение корней равно свободному члену q:
В случае неприведенного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:
x1 + x2 = -b / a x1 · x2 = c / aТеорема Виета хороша тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 · x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, апроизведение должно равняться –1.Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 · 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.
Здравствуйте! Давайте рассмотрим каждый из этих вопросов по отдельности.
1) Найдите все решения уравнения на заданном отрезке: cos(x/3) = 1/2, [-6;6]
Для начала, мы знаем, что cos(π/3) = 1/2. Мы также знаем, что функция косинус имеет период 2π, то есть синус будет повторяться через каждые 2π. Также, можно заметить, что x/3 дает нам подобную ситуацию - он будет повторяться через каждые 2π.
Итак, чтобы найти все решения уравнения, мы должны определить, на каких значениях x/3 имеет cos(x/3) = 1/2.
На первом отрезке [-6;6], мы можем найти все решения, где x/3 = π/3 + 2πn или x/3 = 5π/3 + 2πn, где n - целое число.
Первое решение:
x/3 = π/3 + 2πn
Умножим обе части на 3,
x = 3π/3 + 6πn
x = π + 6πn
Следующие решения можно получить, добавив к π + 6πn значение 2πn (так как они периодичны):
x = π + 6πn + 2πn
x = π + 8πn
Ответ для первого уравнения будет x = π + 8πn, где n - целое число, и x находится в пределах [-6;6].
2) Найдите все решения уравнения на заданном отрезке: cos(3x) = √3/2, [0;2]
Аналогично, мы знаем, что cos(π/6) = √3/2. Также, cos(3x) имеет период 2π/3, поскольку угол внутри cos равен 3x.
На отрезке [0;2], мы должны определить, на каких значениях 3x имеет cos(3x) = √3/2.
Первое решение:
3x = π/6 + 2πn
Разделим обе части на 3,
x = π/18 + 2πn/3
Следующие решения можно получить, добавив к π/18 + 2πn/3 значение 2π/3 (так как они периодичны):
x = π/18 + 2πn/3 + 2π/3
x = π/18 + 2π(n + 1)/3
Ответ для второго уравнения будет x = π/18 + 2π(n + 1)/3, где n - целое число, и x находится в пределах [0;2].
Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
